順番に見ていきましょう。
まずは予備知識として

・サーバ
・クライアント
・電子証明書

について簡単に説明します。
「そんなの説明されなくても知ってるよ！」な人は適当に読み飛ばしてください。

サーバは「サービスや機能を提供する側のコンピュータ」です。



クライアントは「サービスや機能を使う側のコンピュータ」です。



サーバがサービスを提供し、そのサービスをクライアントが使います。



電子証明書は「コンピュータの世界における、どこかの誰かが発行した身元証明書」です。
保証人制度とか印鑑証明みたいなイメージですかね。
どこかの誰かに「こいつは大丈夫。俺が身元を保証すっから」と発行してもらった証明書です。



以上を踏まえて

サービスを利用する方（クライアント）の身元を保証する電子証明書

が「クライアント証明書」です。



クライアント証明書の使いどころは、いろいろです。
具体的な例がパッと思い浮かびませんが、特定の人しか使えないようなサービスで、サービスを利用するときに「おまえは使ってOKなやつかな？」を確認したい場合がありますよね。
そんなときにクライアント証明書を使ってサービスを利用する側の身元を証明したりします。