出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 08:02 UTC 版)

「ガンマ行列」の記事における「縮約公式」の解説

ガンマ行列の縮約については、以下が成り立つ。 γ μ γ μ = d {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=d} γ μ γ ν γ μ = ( 2 − d ) γ ν {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=(2-d)\gamma ^{\nu }} γ μ γ ν γ ρ γ μ = 4 g ν ρ − ( 4 − d ) γ ν γ ρ {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4g^{\nu \rho }-(4-d)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }} γ μ γ ν γ ρ γ σ γ μ = − 2 γ σ γ ρ γ ν + ( 4 − d ) γ ν γ ρ γ σ {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+(4-d)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }} より高次の縮約公式についても γ μ γ ν 1 ⋯ γ ν r γ ν r + 1 γ μ = 2 γ ν r + 1 γ ν 1 ⋯ γ ν r − ( γ μ γ ν 1 ⋯ γ ν r γ μ ) γ ν r + 1 {\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}\gamma ^{\nu _{r+1}}\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\nu _{r+1}}\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}-(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu _{1}}\cdots \gamma ^{\nu _{r}}\gamma _{\mu })\gamma ^{\nu _{r+1}}} として帰納的に求められる。

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