0.999...

אין מאטעמאטיק, דער זיך-חזר'ענדיגער נומער …0.999 איז א רעאלע צאל וואס איז גלייך מיט דעם נומער איינס. דאס הייסט, אז 1 און 0.999… רעפרעזענטירן דעם זעלבן נומער. עס איז דא פארשידענע מאטעמאטישע דערווייזן פון דער דאזיקער גלייכקייט.

דערווייז

די סעקווענץ $a_{1}=0.9,a_{2}=0.99,\dots$ קען מען פארמיר אזוי:

$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}$.

דאס איז א געאמערישע ריי, טא

${\begin{aligned}a_{n}&=9\sum _{k=1}^{n}10^{-k}\\&=9{\frac {10^{-1}(1-10^{-n})}{1-10^{-1}}}\\&=1-10^{-n}\end{aligned}}$.

ווען $n\to \infty$ געפינט מען אז $0.999\dots =1$.