二項式係數

在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 $n$ 和 $k$ 為參數決定，寫作 ${\tbinom {n}{k}}$ ，定義為 $(1+x)^{n}$ 的多項式展開式中， $x^{k}$ 項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 ${\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}$ 寫成一行，再依照 $n=0,1,2,\dots$ 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。

二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上， ${\tbinom {n}{k}}$ 可以被理解為從 $n$ 個相異元素中取出 $k$ 個元素的方法數，所以 ${\tbinom {n}{k}}$ 大多讀作「 $n$ 取 $k$ 」。二項式係數 ${\tbinom {n}{k}}$ 的定義可以推廣至 $n$ 是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。

歷史及記號

雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 ${\tbinom {n}{k}}$ 卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用^{[注 1]}。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Halayudha（英语：Halayudha）寫的印度教典籍《宾伽罗的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》^{[注 2]} 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括： $C(n,k)$ 、 $_{n}C_{k}$ 、 $^{n}C_{k}$ 、 $C_{n}^{k}$ 、 $C_{k}^{n}$ ^{[注 3]}，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 $P_{k}^{n}$ ，例如寫作 P(n, k)。

定義及概念

對於非負整数 $n$ 和 $k$ ，二項式係數 ${\tbinom {n}{k}}$ 定義為 $(1+x)^{n}$ 的多項式展開式中， $x^{k}$ 項的係數，即

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}

事實上，若 $x$ 、 $y$ 為交換環上的元素，則

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}

此數的另一出處在組合數學，表達了從 $n$ 物中，不計較次序取 $k$ 物有多少方式，亦即從一 $n$ 元素集合中所能組成 $k$ 元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪 $(1+X)^{n}$ 的 $n$ 個因數逐一標記為 $i$ （從1至 $n$ ），則任一 $k$ 元素子集則建構成展式中的一個 $X^{k}$ 項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數 $n$ 和 $k$ 而言， ${\tbinom {n}{k}}$ 亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由 $n$ 個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為 $k$ 的數目為 ${\tbinom {n}{k}}$ ，又如算式 $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ ，其中每一 $a_{i}$ 均為非負整數，則有 ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ 種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算 $k$ 個元素的組合的數量。

計算二項式係數

除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算 ${\tbinom {n}{k}}$ 的值。

遞歸公式

以下遞歸公式可計算二項式係數：

{\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N}

其中特別指定：

{\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},

{\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .

此公式可由計算 $(1+x)^{n-1}(1+x)$ 中的 $x^{k}$ 項，或點算集合 $\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 的 $k$ 個元素組合中包含 $n$ 與不包含 $n$ 的數量得出。

顯然，如果 $k>n$ ，則 ${\tbinom {n}{k}}=0$ 。而且對所有 $n$ ， ${\tbinom {n}{n}}=1$ ，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

乘數公式

個別二項式係數可用以下公式計算：

{\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從 $n$ 個元素中取出 $k$ 個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的 $k$ 個元素可有多少種排序方式。

階乘公式

二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.

其中「 $n!$ 」是 $n$ 的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以 $(n-k)!$ 取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

{\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.

1

一般化形式及其與二項式級數的關係

若將 $n$ 換成任意數值（負數、實數或複數） $\alpha$ ，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展^{[注 4]}：

{\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故 ${\tbinom {\alpha }{k}}$ 仍能相稱地稱作二項式係數：

(1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha  \choose k}X^{k}.

2

此公式對任何複數 $\alpha$ 及 $X$ ， $\left\vert X\right\vert <1$ 時成立，故此亦可視作 $X$ 的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

(1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.

若 $\alpha$ 是一非負整數 $n$ ，則所有 $k>n$ 的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於 $\alpha$ 的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角)

帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰階表示係數的十進制數位，向右對齊，故左邊邊界約是二項式係數的對數，圖中可見數族形成一對數凹數列

帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：

{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},

3

此式可以用於數學歸納法，以証明 ${\tbinom {n}{k}}$ 對於所有 $n$ 和 $k$ 均為自然數（等同於証明 $k!$ 為所有 $k$ 個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

第 $n$ 橫行列出 ${\tbinom {n}{k}}$ 的 $k=0,\ldots ,n$ 項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

(x+y)^{5}={\boldsymbol {1}}x^{5}+{\boldsymbol {5}}x^{4}y+{\boldsymbol {10}}x^{3}y^{2}+{\boldsymbol {10}}x^{2}y^{3}+{\boldsymbol {5}}xy^{4}+{\boldsymbol {1}}y^{5}

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(3)的延伸意義。

組合數學和統計學

二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

共有 ${\tbinom {n}{k}}$ 種方式從 $n$ 元素中選取 $k$ 項。見組合。
共有 ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ 種方式從一個 $n$ 元素集合中選取（容許重覆選取） $k$ 元素建立多重集。
共有 ${\tbinom {n+k}{k}}$ 個字符串包含 $k$ 個1和 $n$ 個零。
共有 ${\tbinom {n+1}{k}}$ 個字符串包含 $k$ 個1和 $n$ 個零，且沒有兩個1相鄰。^{[参 1]}
卡塔蘭數是 ${\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}$
統計學中的二項式分佈是 ${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式係數

就任就非負整數 $k$ ， $\scriptstyle {\binom {t}{k}}$ 可表達為一多項式除以 $k!$ ：

{\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)}};\,\!

此為帶有理數係數，變量是 $t$ 的多項式，可對任意實數或複數 $t$ 運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意 $k$ ，多項式 ${\tbinom {t}{k}}$ 可看成是惟一的 $k$ 次多項式 $p(t)$ 滿足 $p(0)=p(1)=\ldots =p(k-1)=0$ 及 $p(k)=1$ .

其係數可以第一類斯特靈數表示，即：

{\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i}}{k!}}t^{i}

${\tbinom {t}{k}}$ 之導數可以對數微分計算：

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}\,.

以二項式係數為多項式空間之基底

在任何包含Q的域中，最多 $d$ 階的多項式有惟一的線性組合 $\sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}$ 。係數 $a_{k}$ 是數列 $p(0),p(1),\ldots ,p(k)$ 的第k差分，亦即： ^{[注 5]}

a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).

3.5

整數值多項式

每一多項式 ${\tbinom {t}{k}}$ 在整數參數時均是整數值（可在 $k$ 上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域 $k$ 的任何子環 $R$ ，在 $K[t]$ 內的多項式在整數參數時之值均在 $R$ 內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的 $R$ -線性組合。

整數值多項式 ${\frac {3t(3t+1)}{2}}$ 可表達作：

9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}

从 $t=1,2,3$ 时 ${\frac {3t(3t+1)}{2}}=6,21,45$ 用帕斯卡矩阵的逆可算出：

{\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix}}

=6{\tbinom {t-1}{0}}+15{\tbinom {t-1}{1}}+9{\tbinom {t-1}{2}}=6{\tbinom {t}{1}}+9{\tbinom {t}{2}}

这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

有關二項式係數的恆等式

关系式

階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在 $k$ 是正整數時，對任意 $n$ 有：

${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}$
${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}$
${\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.$

两个组合数相乘可作变换：

{\binom {n}{i}}{\binom {i}{m}}={\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{i-m}}

^{[参 2]}

一阶求和公式

$\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}$
$\sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}$
$\sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}$
$\sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}$ ^{[参 3]}

$\sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}$

{\binom {a+m}{m-1}}+{\binom {a+m}{m}}+{\binom {a+m+1}{m+1}}+...+{\binom {a+n}{n}}={\binom {a+n+1}{n}}

$F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}$ ^{[参 4]}

F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}

$\sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}$

{\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}

二阶求和公式

$\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}$

$\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}$ ^{[参 5]}

(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}

(1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}

(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}$

三阶求和公式

${\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}$

備註

^ Higham (1998)
^ Lilavati 第6節，第4章（見Knuth (1997)）。
^ Shilov (1977)
^ 見(Graham, Knuth & Patashnik 1994)，其中就 $k<0$ 定義了 ${\tbinom {n}{k}}=0$ ，其他一般化形式包括考慮兩參數為實數或複數時以伽瑪函數為 $k<0$ 時定義 ${\tbinom {n}{k}}$ ，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令帕斯卡法則在原點失效。
^ 此可視作泰勒定理的離散形式，亦與牛頓多項式有關，此式的交錯項之和可以Nörlund–Rice積分表示。

參考文獻

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^ 两个排列组合求和公式. [2014-01-05]. （原始内容存档于2019-05-02）.
^ 赵丽棉黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4) [2014-01-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
^ 徐更生何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10) [2014-01-04]. （原始内容存档于2019-05-02）.
^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.

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Singmaster, David. Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients. J. London Math. Soc. (2). 1974, 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.
Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187.

参见

组合

外部連結

Calculation of Binomial Coefficient
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[1] Higham (1998)

[2] Lilavati 第6節，第4章（見Knuth (1997)）。

[3] Shilov (1977)

[4] 見(Graham, Knuth & Patashnik 1994)，其中就 $k<0$ 定義了 ${\tbinom {n}{k}}=0$ ，其他一般化形式包括考慮兩參數為實數或複數時以伽瑪函數為 $k<0$ 時定義 ${\tbinom {n}{k}}$ ，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令帕斯卡法則在原點失效。

[6] 此可視作泰勒定理的離散形式，亦與牛頓多項式有關，此式的交錯項之和可以Nörlund–Rice積分表示。

[5] Muir, Thomas. Note on Selected Combinations. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1902.

[7] 两个排列组合求和公式. [2014-01-05]. （原始内容存档于2019-05-02）.

[8] 赵丽棉黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4) [2014-01-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.

[9] 徐更生何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10) [2014-01-04]. （原始内容存档于2019-05-02）.

[10] 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[参 1]

[注 5]

[参 2]

[参 3]

[参 4]

[参 5]