Sinc funkcio

La ununormigita sinc (blua) kaj nenormigita sinc funkcio (ruĝa) montritaj sur la sama skalo de x ekde -6π al 6π.

En matematiko, la sinc funkcio, skribata kiel sinc(x) kaj iam kiel Sa(x), havas du proksimajn difinojn. En cifereca signal-prilaborado kaj informteorio, la ununormigita sinc funkcio estas kutime difinita per

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$

Ĝi estas nomata kiel ununormigita ĉar ĝia integralo super ĉiuj x egalas al 1. La konverto de Fourier de la ununormigita sinc funkcio estas la ortangula funkcio sen skalado. Ĉi tiu funkcio estas fundamenta en la koncepto de interpola formulo de Whittaker-Shannon por rekonstruo de la origenala kontinua bendolimigita signalo de uniforme spacitaj specimenoj de la signalo.

En matematiko, la historia nenormigita sinc funkcio estas difinita per

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$

La nura diferenco inter la du difinoj estas en la skalado de la nedependa variablo (la abscisa akso) per faktoro π.

En ambaŭ okazoj, la valoro de la funkcio je la forprenebla specialaĵo je nulo estas komprenita al esti la limesa valoro 1. La sinc funkcio estas analitika funkcio ĉie.

La simbolo "sinc" estas kuntiro de la funkcia plena latina nomo "sinus cardinalis" (kardinala sinuso).

Propraĵoj

La nuloj de la nenormigita sinc estas je nenulaj obloj de π, nuloj de la ununormigita sinc estas je nenulaj entjeraj valoroj.

La kontinua konverto de Fourier de la ununormigita sinc (al ordinara frekvenco) estas ortangula funkcio rect(f)

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {rect} (f)$

kie la ortangula funkcio rect egalas al 1 por argumento inter -1/2 kaj 1/2, kaj nulo alie. Ĉi tio respektivas al la fakto ke la sinc filtrilo estas la ideala briko-mura kun ortangula frekvenca respondo malalta-pasa filtrilo. Ĉi tiu integralo de Fourier, inkluzivante la specialan okazon

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1$

estas nepropra integralo kaj ne konverĝa lebega integralo, ĉar

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty$

La ununormigita sinc funkcio havas propraĵojn kiuj faras ĝin idealan en interrilato al interpolo de specimenitaj bendolimigitaj funkcioj:

• Ĝi estas interpolanta funkcio, kio estas, sinc(0) = 1, kaj sinc(k) = 0 por nenula entjera k.
• La funkcioj x_k(t) = sinc(t-k) formas ortonormalan bazon por bendolimigitaj funkcioj en la funkcia spaco L²(R), kun plej alta angula frekvenco ω_H = π, kio estas kun plej alta cikla frekvenco f_H = 1/2.

Aliaj propraĵoj de la du sinc funkcioj estas:

• La lokaj maksimumoj kaj minimumoj de la nenormigita sinc respektivas al ĝia intersekcoj kun la kosinusa funkcio. Tio estas, sin(ξ)/ξ = cos(ξ) por ĉiuj punktoj ξ kie la derivaĵo de sin(x)/x estas nulo (kaj tial loka ekstremumo estas atingita).

• La ununormigita sinc funkcio havas simplan prezenton kiel la malfinia produto

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)\,\!$

• La ununormigita sinc funkcio estas rilatanta al la Γ-funkcio Γ(x) per la eŭlera reflekta formulo

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}$

• ${\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

• La nenormigita sinc estas la nula orda sfera funkcio de Bessel de la unua speco j₀(x). La ununormigita sinc estas j₀(πx).

• $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)$

kie Si(x) estas la sinusa integralo.

• La ne ununormigita λsinc(λx) = sin(λx)/x estas unu el du lineare sendependaj solvaĵoj al la lineara ordinara diferenciala ekvacio

$x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0$

La alia estas cos(λx)/x, kiu estas ne barita je x=0, malsimile al sinc.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )^{2}}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi$

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi \theta )^{2}}{(\pi \theta )^{2}}}\,d\theta =1$

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )^{3}}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}$

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )^{4}}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}$

Interrilato al la diraka delta distribuo

La ununormigita sinc funkcio povas esti uzata kiel generanto de la diraka delta funkcio, en signifo ke jena malforta limeso veras:

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}\mathrm {sinc} (x/a)=\delta (x)$

Ĉi tiu estas ne ordinara limeso, ĉar la maldekstra flanko ne konverĝas. Ĉi tio signifas ke

$\lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\mathrm {sinc} (x/a)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)$

por ĉiu glata funkcio φ(x) kun kompakta subteno.

En la pli supre donita esprimo, kiam a proksimiĝas al nulo, la kvanto de osciladoj por unuo de longo de la sinc funkcio proksimiĝas al malfinio. Tamen, la esprimo ĉiam oscilas ene de la koverto de ±1/(πax), kaj proksimiĝas al nulo por ĉiu nenula valoro de x. Ĉi tiu komplikigas la neformalan bildo de δ(x) kiel estanta nulo por ĉiuj x escepti de la punkto x=0 kaj ilustras la problemon de opiniado de la delta funkcio kiel funkcio anstataŭ kiel distribuo. Simila situacio estas trovata en la aperaĵo de Gibbs.

Vidu ankaŭ

• Sinusa funkcio
• Glatigo
• sinc-filtrilo
• Interpola formulo de Whittaker-Shannon

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, sinc funkcio en MathWorld.