(2) 三角形ABCは BA = BC = 1 , ∠ABC = 90° の直角二等辺三角形なので ∠BCA = 45° 、AC = √2 である。 （三角形AEDも同じ形である） ∠ACD = x とする。 三角形ACDは AC = AD = √2 , CD = 1 の二等辺三角形である。 CDの中点をMとすると AM ⊥ CD であり 三角形ACMに三平方の定理を用いて AM^2 = AC^2 - CM^2 = 2 - (1/4) = 7/4 よって AM = √7/2 , CM = 1/2 である。 直角三角形ACMに注目すると cos x = CM/AC = 1/2√2 sin x = AM/AC = √7/2√2 とわかる。よって cos∠ACD = cos(45° + x) = cos45°cos x - sin45°sin x = (1/√2) * (1/2√2) - (1/√2) * (√7/2√2) = (1/4) - (√7/4) = (1 - √7)/4 …答 (3) 三角形ACDに注目して ∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 2x とわかる。よって ∠BAE = ∠BAC + ∠CAD + ∠DAE = 45° + (180° - 2x) + 45° = 270° - 2x であり cos∠BAE = cos(270° - 2x) = cos270° cos 2x + sin270° sin 2x = 0 + (-1) sin 2x = -2 * sin x * cos x = -2 * (√7/2√2) * (1/2√2) = - (√7/4) とわかる。 三角形ABEに余弦定理を用いて BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 AB * AE * cos∠BAE = 1 + 1 + (√7/2) = (4 + √7)/2 = (8 + 2√7)/4 = { (1 + √7)/2 }^2 よって BE = (1 + √7) / 2 …答 (4) △ABE = (1/2) * AB * AE * sin∠BAE = (1/2) sin (270° - 2x) = (1/2) ( sin270° cos 2x - cos270° sin 2x ) = (1/2) (-cos 2x) = (-1/2) { 2 (cos x)^2 - 1 } = (-1/2) { 2 * (1/2√2)^2 - 1 } = 3/8 ここで、Aから辺BEに垂線AHをおろす。 △ABE = (1/2) * BE * AH より 3/8 = (1/2) * { (1 + √7) / 2 } * AH AH = 3 / { 2 (√7 + 1) } = (√7 - 1) / 4 3点A,H,Mはこの順に同一直線上にあるので HM = AM - AH = (√7/2) - (√7 - 1) / 4 = (√7 + 1) / 4 △APH と △ACM は相似であり AP : PC = AH : HM が成立するので AP : PC = { (√7 - 1) / 4 } : { (√7 + 1) / 4 } = (√7 - 1) : (√7 + 1) これは △ABP : △BCP の比に等しい。 △ABC = (1/2) * AB * BC = 1/2 より △BCP = △ABC * ( CP / AC ) = (1/2) * { (√7 + 1) / (2√7) } = (1/2) * { (7 + √7) / 14 } = (7 + √7) / 28 …答