サクッと一言で説明すると

そいつを変更したときに前のやつと区別するために付ける数字や文字

が「バージョン」です。
一般的には「版」や「版数」などと訳されます。



例えば、そうですね。

ここにピヨ太君の作ったソフト「ピヨピヨソフト」があります。



ピヨピヨソフトは、まだラリラリです。
たくさんの不具合があります。



ピヨ太君はラリラリのピヨピヨソフトに「ピヨピヨソフト バージョン0.1」という呼び名を付けました。



次にピヨ太君はラリラリのピヨピヨソフトを改良しました。
不具合が減り、ピヨピヨソフトは少しだけキリッとなりました。



ピヨ太君は少しだけキリッとなったピヨピヨソフトに「ピヨピヨソフト バージョン0.2」という呼び名を付けました。



数字が「0.1」から「0.2」になっているのは、ラリラリのピヨピヨソフトと少しだけキリッとなったピヨピヨソフトを区別するためです。
「バージョン0.1」といえばラリラリのピヨピヨソフトを指します。
「バージョン0.2」であれば少しだけキリッとなったピヨピヨソフトです。



ピヨ太君は、さらにピヨピヨソフトを改良しました。
不具合がなくなり「うん、これで完成だね」と言える状態になりました。



ピヨ太君は完成品のピヨピヨソフトに「ピヨピヨソフト バージョン1.0」という呼び名を付けました。



数字が「0.3」ではなく「1.0」になったのは完成したからです。
「0.3」だと、なんか中途半端ですよね。
「1.0」だと、なんとなく区切りが良いです。

ピヨ太君の作業は、まだまだ続きます。



一旦は完成したピヨピヨソフトですが、後から不具合が見つかりました。



ピヨ太君は不具合を直します。



ピヨ太君は不具合を直したピヨピヨソフトに「ピヨピヨソフト バージョン1.1」という呼び名を付けました。



「1.0」から「1.1」になりましたね。
少しだけ数字が増えました。

これは「『1.0』に少しだけ変更を加えましたよ」の意図があるからです。
上で説明した「0.1」から「0.2」になったときと同じです。

ピヨ太君の作業は、まだまだ続きます。



ピヨ太君は、さらにピヨピヨソフトを改造しました。
その結果、ピヨピヨソフトは大きく進化しました。
ピヨピヨソフトを超えたピヨピヨソフトになったのです。



ピヨ太君はピヨピヨソフトを超えたピヨピヨソフトに「ピヨピヨソフト バージョン2.0」という呼び名を付けました。



数字が一気に「2.0」になったのは今までのピヨピヨソフトとは別物と言って良いくらい進化したからです。
完成したときに数字を「1.0」にしましたよね。
「2.0」には「次世代のピヨピヨソフトが完成したよ！」なニュアンスがあります。

この話においてピヨ太君は、それぞれのピヨピヨソフトを区別するために「ピヨピヨソフト バージョン○○」という呼び名を付けました。
この呼び名の中で、それぞれのピヨピヨソフトを区別する部分「バージョン○○」の部分がバージョンです。

実際のところ、バージョンの表記方法に絶対の決まりはありません。
「1」「2」「3」でも「ア」「イ」「ウ」でも区別できれば事足ります。

ただし、一般的には「1．0．0」のように数字を並べた形式が多いでしょう。
機能追加や不具合の修正などで成長したら数字を増やします。

ちなみに「1．0．0」のような表記方法の場合、数字が大きく変わるほど、もしくは左の数字が変わるほど「いっぱい成長しました！」の意味になります。

例えば、バージョンが「1.0.0」から「2.0.0」になったとしましょう。



この場合は「もう世代が変わったって言って良いくらい進化したね！」のニュアンスです。
この成長は「メジャーバージョンアップ」と呼ばれたりします。



「1．0．0」から「1．1．0」の変化であれば「基礎部分は同じだけど進化したよー」くらいのニュアンスです。
この成長は「マイナーバージョンアップ」と呼ばれたりします。



「1．0．0」から「1．0．1」の変化であれば「少しだけ手を入れたよ」くらいのニュアンスです。
不具合を直すことを意味する「バグフィックス」と呼ばれる成長が当てはまる場合が多いでしょう。



注意点として「どんな変更をしたら、どの数字を上げるか」や「どの変更をメジャーバージョンアップ（ or マイナーバージョンアップ or バグフィックス）と呼ぶか」には決まりがありません。
その現場の慣習や作った人の気分次第です。

一般的には完成時点のバージョンを「1．0．0」にするのが普通ですけどね。
それ以前は「0．9．0」のように左端を「0」にします。
未成年のうちは「0．X．X」で、それが成長するごとに数字が増えていって成人したら「1．0．0」になるイメージです。