Дачыненне парадку

Дачыне́нне пара́дку (упарадкава́насць) — бінарнае дачыненне на мностве, якое дазваляе ўпарадкаваць яго элементы, гэта значыць задаць правіла, згодна з якім адны элементы ідуць перад іншымі.

Фармальна ўпарадкаванасць вызначаецца як дачыненне, якое з’яўляецца транзітыўным ($\forall x,y,z:R(x,y),R(y,z)=>R(x,z)$) і антысіметрычным ($\forall x,y:R(x,y)=>\lnot R(y,x)$). Любое дачыненне, якое валодае гэтымі ўласцівасцямі, ёсць дачыненнем парадку.

Калі дачыненне парадку R з’яўляецца рэфлексіўным (гэта значыць, што $\forall x:R(x,x)$), такую ўпарадкаванасць называюць нястрогай; антырэфлексіўнае дачыненне парадку (такое, што $\forall x:\lnot R(x,x)$) называюць строгай упарадкаванасцю.

Упарадкаванасць мноства з’яўляецца поўнай, або лінейнай, калі яна ўпарадкоўвае ўсе яго элементы, гэта значыць, для любых двух яго элементаў мае месца або R(x,y), або R(y,x). Калі ж існуе хаця б адна такая пара, для якой не мае месца ні R(x,y), ні R(y,x), то ўпарадкаванасць з'яўляецца частковай.

Цалкам упарадкаваныя мноствы называюцца ланцугамі.

Прыкладамі поўнай строгай упарадкаванасці з’яўляюцца дачыненні «больш» і «менш» між сапраўднымі лікамі.

Прыкладам частковай строгай упарадкаванасці з’яўляецца дачыненне «нашчадак» між людзьмі, бо яно транзітыўнае (нашчадак нашчадка ёсць нашчадкам), антысіметрычнае (два чалавекі не могуць быць начшадкамі адзін аднаго), антырэфлексіўнае (чалавек не ёсць нашчадкам самога сябе) і няпоўнае (бо, напрыклад, на падмностве братоў дачыненне «нашчадак» не вызначана – ніхто не ёсць нічыім нашчадкам).

У якасці прыкладу частковай нястрогай упарадкаванасці можна прывесці дачыненне дзялімасці між натуральнымі лікамі. Сапраўды, яно транзітыўнае (любы лік дзеліцца на дзельнік свайго дзельніка), антысіметрычнае (дзельнік не дзеліцца на сваё дзеліва), рэфлексіўнае (любы лік дзеліцца сам на сябе) і няпоўнае (напрыклад, на падмностве простых лікаў гэтае дачыненне не вызначана).