Järjestysrelaatio

Järjestysrelaatio on jossakin joukossa määritelty relaatio, joka järjestää sen alkiot suuruusjärjestykseen. Järjestysrelaatiolle käytetään merkintöjä x < y (x on pienempi kuin y) tai y > x (y on suurempi kuin x). Joukossa E määritelty relaatio < on järjestysrelaatio, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

• 1. Mille tahansa alkioille $x\in E$ ja $y\in E$ on seuraavista vaihtoehdoista voimassa täsmälleen yksi: joko x < y, x = y tai y < x.
• 2. Jos x < y ja y < z, niin x < z, eli järjestysrelaatio on transitiivinen.

Joukko, jossa on määritelty järjestysrelaatio, on järjestetty joukko.

Järjestetty kunta

Järjestetty kunta on kunta, jossa on määritelty järjestysrelaatio, joka edellisten lisäksi toteuttaa myös seuraavat ehdot:

• 3. Jos x < y, niin x+z < y+z
• 4. Jos x > 0 ja y > 0, niin x · y > 0.

Järjestettyjä kuntia ovat esimerkiksi rationaalilukujen joukko $\mathbb {Q}$ ja reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$. Sitä vastoin kompleksilukujen kunnassa $\mathbb {C}$ ei järjestysrelaatiota voida määritellä niin, että se toteuttaisi kaikki nämä ehdot.

Järjestettyihin joukkoihin liittyviä relaatioita

Järjestykseen ja samastukseen liittyviä relaatioita ovat lisäksi:

x pienempi tai yhtäsuuri kuin y

x≤y "ei päde x>y"

x suurempi tai yhtäsuuri kuin y

x≥y "ei päde x<y"

x erisuuri kuin y

x≠y "ei päde x=y"

Lähteet

• TKK:n Laaja matematiikka 1

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0