Bon nombre premier

En arithmétique, un bon nombre premier est un nombre premier dont le carré est supérieur à chaque produit de deux nombres premiers, situés avant et après lui dans la suite des nombres premiers, et dont les indices sont équidistants du sien. Autrement dit : le n-ième nombre premier p_n est « bon » si

pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1, p_n² > p_n–i p_n+i.

Exemple : les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11. En ce qui concerne p₃ = 5, les deux conditions possibles

$5^{2}>3\times 7$

$5^{2}>2\times 11$

sont remplies, 5 est donc un bon premier.

Contre-exemple : en ce qui concerne p₄ = 7, on a

$7^{2}<5\times 11$

donc 7 n'est donc pas un bon nombre premier.

John Selfridge a conjecturé et Carl Pomerance a démontré que l'ensemble des bons nombres premiers est infini. Les dix premiers sont 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67 et 71.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Good prime » (voir la liste des auteurs).