Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ , la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi \colon (G_{2},\star )\to \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ .^[1]

Definizione

Dati due gruppi $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ ed un omomorfismo $\psi \colon (G_{2},\star )\rightarrow \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ , chiamiamo prodotto semidiretto di $G_{1}$ e $G_{2}$ secondo $\psi$ il prodotto cartesiano $G_{1}\times G_{2}$ dotato della seguente operazione:

(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)

dove indichiamo con $\psi _{b}$ l'automorfismo $\psi (b)$ appartenente all'insieme $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ .

Il prodotto semidiretto di $G_{1}$ e $G_{2}$ secondo $\psi$ può essere indicato come

(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )

.

Prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto $(G_{1},\cdot )\times (G_{2},\star )$ è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra $(G_{2},\star )$ e $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ l'omomorfismo:

\psi (b)=\mathrm {Id} _{1},\quad \forall b\in G_{2}

dove $\mathrm {Id} _{1}$ è l'automorfismo identità in $(G_{1},\cdot )$ . Infatti l'operazione su $(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )$ sarà a questo punto:

$(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)=(a\cdot \mathrm {Id} _{1}(c),b\star d)=(a\cdot c,b\star d).$

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto

Sia $(G,*)$ un gruppo e siano $H,K$ due suoi sottogruppi.

Se:

$H\triangleleft G$ ( $H$ è normale in $G$ ),
$G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},$
$H\cap K=\{e\},$

allora $G\cong H\rtimes _{\psi }K$ , dove $\psi _{k}(h)=khk^{-1}$ (ossia ogni elemento viene mappato da $\psi$ nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra $G$ e $H\rtimes _{\psi }K$ sarà quello che manda il generico elemento $h*k$ in $(h,k)$ .

Esempi di gruppi semidiretti

Dato un gruppo avente ordine $pq$ , con $p,q$ numeri primi distinti, $p<q$ , esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow^[2], sarà decomponibile come:
$\mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}.$
In particolare, se $p$ non divide $|\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})|=\varphi (q)=q-1$ ( $\varphi$ è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra $\mathbb {Z} _{p}$ e $\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})$ è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
$G\cong \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} _{q}\times \mathbb {Z} _{p}$
Ogni gruppo diedrale $D_{n}$ $D_{n}$ è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
$\mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2},$
dove $\psi (0)$ $\psi (0)$ è l'identità su $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ e $\psi (1)$ $\psi (1)$ è l'applicazione che manda ogni elemento $m$ $m$ di $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ nel suo opposto $-m$ $-m$ .^[3] In particolare un isomorfismo $\phi \colon D_{n}\rightarrow \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ $\phi \colon D_{n}\rightarrow \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ è quello tale che:
- $\phi (r)=(1,0),$
- $\phi (s)=(0,1),$
e quindi^[4]
$\phi (r^{h}s^{k})=(h,k),$
dove $r,s$ $r,s$ sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo e una simmetria fissata.
Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
$\langle a,b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle ,$
ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, $\mathbb {Z}$ , con sé stesso.

Applicazioni

I prodotti semidiretti sono di aiuto nella classificazione dei gruppi, ad esempio permettono di classificare tutti i gruppi di ordine $pq$ con $p,q$ primi e $p<q$ :

Se $q\not \equiv 1{\bmod {p}},$ c'è un solo gruppo ed è $\mathbb {Z} _{pq}.$

Se $q\equiv 1{\bmod {p}},$ ce ne sono due, uno è $\mathbb {Z} _{pq}$ e l'altro, non abeliano, è dato da $\{{\begin{pmatrix}x&y\\0&1\end{pmatrix}}:x\in \mathbb {Z} _{q}^{*},y\in \mathbb {Z} _{q},x^{p}\equiv 1{\bmod {q}}\}\subset {\text{Aff}}(\mathbb {Z} _{q}).$

Di seguito è riportato un esempio di come il prodotto semidiretto ci può aiutare a classificare i gruppi di un ordine assegnato.

Classificazione dei gruppi di ordine 30:

Sia $\mid G\mid =30=2\cdot 3\cdot 5$ allora per i teoremi di sylow $G$ contiene un sottogruppo di ordine 2, uno di ordine 3 e uno di ordine 5, e vale $n_{5}\in \{1,6\}$ e $n_{3}\in \{1,10\}$ . Non può essere contemporaneamente $n_{3}=10$ e $n_{5}=6$ altrimenti $G$ avrebbe 20 elementi di ordine 3 e 24 di ordine 5, allora almeno uno dei due sottogruppi è normale e possiamo quindi considerare il loro prodotto che è un sottogruppo di $G$ di ordine 15. Per il teorema precedente deve necessariamente essere ciclico e poiché ha indice 2 deve essere normale.

Per il teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto $G\cong \mathbb {Z} _{15}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2}$ con $\psi \colon \mathbb {Z} _{2}\rightarrow {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{15})\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ che agisce per coniugio. Contiamo ora gli omomorfismi da $\mathbb {Z} _{2}$ a $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ questi sono 4, infatti dobbiamo scegliere dove mandare $1$ che ha ordine 2 e poiché $\psi$ è un omomorfismo $\psi (1)\mid 2$ , allora $\psi (1)\in \{(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)\}$ . Abbiamo mostrato che ci sono al più 4 gruppi di ordine 30 e considerando $\mathbb {Z} _{30},\mathbb {Z} _{3}\times D_{5},\mathbb {Z} _{5}\times D_{3},D_{15},$ è facile vedere che questi sono 4 gruppi di ordine 30 non isomorfi.

Proprietà

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che $D_{n}$ è non abeliano per ogni $n\geq 3$ ), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto semidiretto coincide con quello diretto.

Note

^ Dato un gruppo $G$ , si indica con $\mathrm {Aut} (G)$ il gruppo degli automorfismi di $G$ (isomorfismi di $G$ in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine $p$ esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
^ Visto nel gruppo diedrale, $\psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}$
^ Essendo $r,s$ generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Prodotto semidiretto, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, Semidirect Product, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Semidirect Product, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Dato un gruppo $G$ , si indica con $\mathrm {Aut} (G)$ il gruppo degli automorfismi di $G$ (isomorfismi di $G$ in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.

[2] Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine $p$ esiste e sarà normale in quanto caratteristico.

[3] Visto nel gruppo diedrale, $\psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}$

[4] Essendo $r,s$ generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.

[1]

[2]

[3]

[4]