Teorema di Kronecker

Il teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il rango di una matrice.

In una matrice $A$, considerata una sottomatrice quadrata di ordine $p$ con determinante diverso da zero, si definiscono orlati tutte le sottomatrici quadrate di ordine $p+1$, ottenute aggiungendo una riga e una colonna di $A$. Se tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora $rk(A)=p$.

Grazie a tale teorema non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo quelli che orlano un minore di ordine $p$.

Esempio

La seguente matrice:

$A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}$

ha un minore di ordine $2$ non nullo:

$A_{m}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

È sufficiente considerare gli orlati di $A_{m}$, che sono solo due dei quattro minori di ordine $3$ di $A$:

$\det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\end{pmatrix}}=0$

$\det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\2&-1&3\end{pmatrix}}=0$

Essi risultano nulli, quindi $rk(A)=2$.

Voci correlate

• Matrice
• Rango (algebra lineare)
• Minore (algebra lineare)
• Determinante