底の変換公式の証明と例題

更新 2024/11/11

底の変換公式

$a,b,c > 0$ ， $a,c\neq 1$ のとき $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ が成り立つ。

底の変換公式

底の変換公式について，意味と証明を解説します。

底の変換公式とは

対数 $\log_a b$ について， $a$ の部分を底と言います。
底を $a$ ではなく $c$ に変換したい！　という場合があります。
そんなときに使えるのが，以下の底の変換公式です：
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
左辺では底が $a$ ですが，右辺では $c$ に変換されています。

例題1

$\log_4 8$ の底を $2$ に変換して計算せよ。

解答

$a=4,b=8,c=2$ として底の変換公式を使うと， $\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ となり底が $2$ になった。 $\log_2 4=2$ ， $\log_2 8=3$ なので，右辺は $\dfrac{3}{2}$ になる。

底の変換公式の証明

底の変換公式 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ を証明してみましょう。証明に使うのは，以下の2つです。

対数の定義：
$\log_a b$ とは $a^d=b$ を満たす $d$ のこと
対数の性質：
$\log_c a^X=X\log_c a$

証明

「 $a^d=b$ を満たす実数 $d$ を $\log_a b$ とする」というのが対数の定義であった。

つまり， $a^{\log_ab}=b$ が成立する。

両辺の対数を取る（底は $c$ ）と，

$\log_c a^{\log_a b}=\log_c b$

ここで，対数の性質： $\log_c a^X=X\log_c a$ を用いて左辺を変形すると以下を得る。

$\log_a b\log_c a=\log_c b$

両辺を $\log_c a$ で割ると底の変換公式を得る。

底の変換公式の使い方のコツ

底の変換公式： $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
を使うと，対数の底を $a$ から $c$ に変換できます。そのため，底の変換公式は，対数の底をそろえるために使われます。
底の決め方（いくつにそろえるか）で迷う人がいますが，後述の例題で見るように底はなんでもOKです。

底の変換公式を使う例題

例題

$\log_4 8$ を計算せよ。

解答

底の変換公式を使って底を $2$ にするのがスタンダードな考え方。

$\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} =\dfrac{\log_2 2^3}{\log_2 2^2} =\dfrac{3}{2}$

別解

スタンダードであるだけで，底は $2$ である必要はない。なんでもよい。

$\log_4 8=\dfrac{\log_c 8}{\log_c 4} =\dfrac{\log_c 2^3}{\log_c 2^2} =\dfrac{3\log_c 2}{2\log_c 2} =\dfrac{3}{2}$

注：慣れていれば普通に $4^{\frac{3}{2}}=8$ より $\log_4 8=\dfrac{3}{2}$ ，と一瞬で計算できます。

例題2

$\log_3 5\log_5 7\log_7 9$ を計算せよ。

解答

底は何でもいいが， $9 = 3^2$ で $5,7$ は素数であることから $3$ にそろえるのがオススメ。

$\begin{aligned} &\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ &=\dfrac{\log_3 5}{\log_3 3}\dfrac{\log_3 7}{\log_3 5}\dfrac{\log_3 9}{\log_3 7}\\ &=\dfrac{\log_3 9}{\log_3 3}\\ &=2 \end{aligned}$

別解

もちろん底は $3$ である必要はない。なんでもよい。

$\begin{aligned} &\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ &=\dfrac{\log_c 5}{\log_c 3}\dfrac{\log_c 7}{\log_c 5}\dfrac{\log_c 9}{\log_c 7}\\ &=\dfrac{\log_c 9}{\log_c 3}\\ &=\dfrac{\log_c 3^2}{\log_c 3}\\ &=\dfrac{2\log_c 3}{\log_c 3}\\ &=2 \end{aligned}$