$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq 0$

は明らかに成立。左辺を展開すると，

$a+b-2\sqrt{ab}\geqq 0$

移項して $2$ で割ると，

$\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$

となり相加相乗平均の不等式を得る。

等号成立条件は，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，つまり $a=b$

$a=x,b=\dfrac{9}{x}$ とした相加相乗平均の不等式より，$x+\dfrac{9}{x}\geqq 2\sqrt{x\times\dfrac{9}{x}}=6$

指数関数の有名な不等式

$$e^x\geqq x+1 \quad\cdots\cdots (\ast)$$

を用いる。この不等式は有名なマクローリン型不等式である。

表記簡略化のため， $\displaystyle m=\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_i$ とおき，$x=\dfrac{a_i}{m}-1$ を $(\ast)$ に代入する。

$$\exp\left( \dfrac{a_i}{m}-1 \right) \geqq \dfrac{a_i}{m}$$

この式を $i=1$ から $n$ までつくり辺々掛け合わせると以下のようになる。

$$\exp \left( \dfrac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} a_{i} -n \right) \geqq \dfrac{1}{m^n}\prod_{i=1}^n a_i$$

上の不等式において，左辺の指数の中身は $m$ の定義より $0$ と等しいので以下の式を得る。

$$m^n \geqq {\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i}$$

両辺の $n$ 乗根をとると

$$\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{i} \geqq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}$$

となる。

次に等号成立条件について考える。$(\ast)$ の等号成立条件は $x=0$ である。つまり，全ての $i$ に対して $\dfrac{a_i}{m}-1=0$ が成立することであり，これは $a_1=a_2=\cdots=a_n$ であることと同値である。