• ノルムを用いたヘルダーの不等式の別の形（解析学でよく用いられる形）についてはミンコフスキーの不等式とその証明のステップ2を参照してください。
• なんとなく和の記号シグマと積の記号パイの交換法則っぽいです。
• 実用的なのは，重み $w$ が等しい場合です。一般形よりも以下の具体例を見て覚えましょう。

• $m=2, w_1=w_2=\dfrac{1}{2}$ の場合，ヘルダーの不等式はコーシーシュワルツの不等式になります。
  $\displaystyle \left(\sum_{j=1}^na_{1j} \right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{j=1}^na_{2j}\right)^{\frac{1}{2}} \geq \sum_{j=1}^n (a_{1j}a_{2j})^{\frac{1}{2}}$
  つまり，$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^na_i^2 \right) \left(\sum_{i=1}^nb_i^2 \right) \geq \left(\sum_{i=1}^na_ib_i \right)^2$ である。
  等号成立条件はベクトル $(a_1, a_2,\cdots ,a_n)$ と $(b_1, b_2,\cdots ,b_n)$ が平行

• $m=3,\:w_1=w_2=w_3=\dfrac{1}{3}$ の場合も頻出：
  $(a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3)(b_1^3+b_2^3+\cdots +b_n^3)(c_1^3+c_2^3+\cdots +c_n^3)\\\geq (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+\cdots +a_nb_nc_n)^3$
  シュワルツの不等式の拡張っぽいですね。

$m=2, w_1=\dfrac{1}{p},w_2=\dfrac{1}{q}$ とおいた形も有名です。 $$\left(\sum_{i=1}^na_{i}^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{i=1}^nb_{i}^q \right)^{\frac{1}{q}} \geq \sum_{i=1}^n(a_{i}b_{i})$$ この不等式をヘルダーの不等式という場合もあるようです。例えば，Wikipediaではこちらの不等式を紹介しています。

いよいよヘルダーの不等式の証明に入っていきます。相加相乗平均の不等式を用いて示すことができます！

一般形について書くと数式がごちゃごちゃしてわかりにくいので，$m=3, n=2$ の場合について証明します。一般形の場合も全く同様にして証明できます。

示すべき不等式は以下のようになります。

$$(a_1+a_2)^{w_1} (b_1+b_2)^{w_2} (c_1+c_2)^{w_3} \geq a_1^{w_1}b_1^{w_2}c_1^{w_3}+a_2^{w_1}b_2^{w_2}c_2^{w_3}$$

注意：$a_1=a_2=0$ または $b_1=b_2=0$ または $c_1=c_2=0$ の場合はこの証明方法は通用しないが，このとき示すべき不等式の両辺はともに0となり自明な不等式となる。

さきほどの証明と重み付き相加相乗平均の不等式の等号成立条件から，$m=3, n=2$ の場合のヘルダーの不等式の等号成立条件が分かる。

$\dfrac{a_1}{a_1+a_2}=\dfrac{b_1}{b_1+b_2}=\dfrac{c_1}{c_1+c_2}$ かつ $\dfrac{a_2}{a_1+a_2}=\dfrac{b_2}{b_1+b_2}=\dfrac{c_2}{c_1+c_2}$

どちらも逆数を取るなどして整理すれば同じ条件になる：

$\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{c_2}{c_1}$

$a_1=0$ の場合なども含めて等号成立条件を書くと以下のようになる。

ベクトル $(a_1,a_2), (b_1,b_2), (c_1,c_2)$ が平行

一般の場合も同様です！

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