Lista symboli matematycznych

Lista symboli matematycznych – artykuł zawierający listę podstawowych symboli i oznaczeń matematycznych.

Wiele symboli może być zaprzeczonych przez ich przekreślenie lub przekreślenie ich części, np. $\notin$ oznaczający brak przynależności do zbioru jest zaprzeczeniem symbolu $\in$ oznaczającego przynależność elementu do zbioru, czy też $\supseteq ,\subseteq$ oznaczający niewłaściwe zawieranie zbiorów oraz $\varsupsetneq ,\varsubsetneq$ oznaczający explicité właściwe zawieranie zbiorów. W niektórych symbolach poniżej przez $\cdot$ oraz $\bullet$ oznaczone są miejsca przyłożenia argumentów i parametrów. W większości wypadków nazwy zbiorów i operatorów można pisać wielką lub małą literą (choć ustalony jest często jeden z zapisów), jednak czasami wielkość liter ma znaczenie, np. $\arg$ oraz $\operatorname {Arg} .$

Lista

Ważne działania i relacje

Symbol	Znaczenie	Czytanie
$+,-,\cdot ,{\tfrac {\ \cdot \ }{\ \cdot \ }}(\div ,\colon )$	dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie	dodać, odjąć, razy, przez
$\ast$	splot funkcji, mnożenie
$=$	równość	równa się, jest
$<,>$	nierówności (ostre, mocne)	mniejsze niż, większe niż
$\leqslant (\leq ),\geqslant (\geq )$	nierówności (nieostre, słabe)	mniejsze niż lub równe = niewiększe niż, większe niż lub równe = niemniejsze
$\ll ,\gg$	oszacowania; absolutna ciągłość	dużo mniejsze, dużo większe; absolutnie ciągłe względem
$\equiv ,{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}$	tożsamość	tożsame z, oznaczane
$a{\bmod {b}}$	dzielenie z resztą	reszta z dzielenia $a$ przez $b$ , $a$ modulo $b$
$a\equiv b{\pmod {c}}$	kongruencja	$a$ przystaje do $b$ modulo $c$
$\cong ,\simeq$	izomorfizm	izomorficzne, równe (z dokładnością do izomorfizmu)
$\approx ,\cong$	przybliżenie	(równe) w przybliżeniu
$:=,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{=}},{\overset {\underset {\mathrm {df} }{\ }}{=}}$	definicja	zdefiniowane jako, (równe) z definicji

Logika matematyczna i teoria mnogości

Symbol	Znaczenie	Czytanie
$\land ,\cdot ,\,.,\&$	koniunkcja	i (i równocześnie)
$\lor$	alternatywa	lub
$\veebar ,{\dot {\vee }},\oplus$	alternatywa wykluczająca	albo, inne nazwy: alternatywa rozłączna, różnica symetryczna, kontrawalencja
${\overline {\wedge }},\|,\uparrow$	kreska Sheffera	również funktor Sheffera, dysjunkcja, niewspółzachodzenie
${\overline {\vee }}$	binegacja	ani A, ani B
$\sim ,\neg$	negacja	nie, nieprawda, że
$\Rightarrow ,\to ,\supset$	implikacja	implikuje, wynika, pociąga
$\iff ,\leftrightarrow$	równoważność	wtedy i tylko wtedy gdy
$\therefore$	wniosek, konkluzja	zatem, stąd lub w związku z tym
$\because$	uzasadnienie	ponieważ lub bo
$\{\cdot \}$	zbiór	zbiór (złożony z) elementów $\cdot$ (elementy oddzielane przecinkami lub średnikami)
$\{\cdot :\bullet \},\{\cdot \|\bullet \}$	zbiór	zbiór (złożony z) elementów $\cdot$ takich, że $\bullet$
$(\cdot ),\{\cdot \}$	krotka, ciąg	krotka/ciąg (złożona/y z) elementów $\cdot$ (oddzielane przecinkami lub średnikami), krotka dla dwóch elementów: para uporządkowana (para), trzech: trójka itp.
$\subset ,\subseteq ,\supset ,\supseteq$	inkluzja (właściwa, niewłaściwa)	zawiera się, jest zawarte; zawiera
$\in ,\ni$	przynależność do zbioru	należy do (jest elementem), zawiera w sobie element
$\varnothing ,\emptyset ,\{\}$	zbiór pusty
$\cup ,\bigcup$	suma zbiorów
$\cap ,\bigcap$	iloczyn zbiorów	również przekrój zbiorów
$\setminus ,\smallsetminus ,-$	różnica zbiorów
$/$	zbiór ilorazowy	również przez
$\times ,\prod$	iloczyn kartezjański	również produkt
$\operatorname {card} ,\#\cdot ,\|\cdot \|,\,{\overline {\overline {\ \cdot \ }}}$	moc zbioru
$\aleph _{0}$	moc nieskończonego zbioru przeliczalnego	alef zero
${\mathfrak {c}}$	continuum, moc zbioru liczb rzeczywistych	kontinuum
$\forall ,\bigwedge ,\Pi$	kwantyfikator ogólny	dla każdego, inne nazwy: uniwersalny, duży
$\exists ,\bigvee ,\Sigma$	kwantyfikator egzystencjalny	istnieje, inne nazwy: szczegółowy, mały
$\exists !,\bigvee !$	kwantyfikator jednoznaczności	istnieje dokładnie jeden
$\cdot {\big \|}_{\bullet }$	obcięcie $\cdot$ do $\bullet$	również restrykcja, zawężenie (np. restrykcja funkcji)
$T$	tautologia	zdanie zawsze prawdziwe
$F$	kontradykcja	zdanie zawsze fałszywe

Ważne zbiory i struktury

Symbol	Znaczenie
$\mathbb {N} ,\mathbb {N} _{0}$	zbiór liczb naturalnych, liczby naturalne z zerem włącznie
$\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} ^{+},\mathbb {Z} _{n}$	zbiór liczb całkowitych, liczby całkowite dodatnie, pierścień reszt modulo n
$\mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ^{+},\mathbb {Q} _{p}$	zbiór liczb wymiernych, zbiór liczb wymiernych dodatnich, liczby p-adyczne
$\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},{\overline {\mathbb {R} }},\mathbb {R} ^{*}$	zbiór liczb rzeczywistych, zbiór liczb rzecz. dodatnich, zbiór liczb rzecz. uzupełniony o $\{+\infty ,-\infty \},$ zbiór liczb hiperrzeczywistych
$\mathbb {C} ,{\widehat {\mathbb {C} }}$	zbiór liczb zespolonych, zbiór liczb zesp. uzupełniony o $\{\infty \}$
$\mathbb {H}$	zbiór kwaternionów
$\mathbb {O}$	zbiór oktaw Cayleya
$\mathbb {S}$	zbiór sedenionów

Geometria i topologia

Symbol	Znaczenie	Czytanie
$\\|$	równoległość	równoległe z
$\perp$	prostopadłość, ortogonalność	prostopadłe do, ortogonalne do
$\sphericalangle ,\measuredangle ,\angle$	kąt
$\Box ,\triangle$	kwadrat, trójkąt
$\operatorname {cl} ,{\overline {\ \cdot \ }}$	domknięcie zbioru
$\operatorname {bd} ,\operatorname {fr} ,\partial$	brzeg zbioru
$\operatorname {int} ,{\overset {\circ }{\cdot }},\cdot ^{\circ },\cdot ^{0}$	wnętrze zbioru
$\cdot ^{d}$	pochodna zbioru
$\cdot ',\cdot ^{c}$	dopełnienie zbioru

Analiza matematyczna

Symbol	Znaczenie	Czytanie
$a^{b},x^{2},x^{3}$	potęga	$a$ do (potęgi) $b$ , $x$ kwadrat ( $x$ do kwadratu), $x$ sześcian ( $x$ do sześcianu)
${\sqrt {x}},{\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{y}]{x}}$	pierwiastek arytmetyczny, pierwiastek algebraiczny	zwykle po prostu pierwiastek (kwadratowy), sześcienny, stopnia $y$ z $x$
$d,D$	różniczka
${\tfrac {\partial f}{\partial x}}$	różniczka cząstkowa
$f',f'',{\tfrac {df}{dx}}$	pochodna funkcji	$f$ prim, $f$ bis, $df$ po $dx$
${\dot {x}},{\ddot {x}},\dots ,$	pochodna zupełna po czasie tj; ${\dot {x}}:={\frac {\operatorname {d} \!x}{\operatorname {d} \!t}}$	pierwsza, druga, ... pochodna $x$ (nie używa się zwykle do trzeciej, czwartej włącznie)
${\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}},D_{i}f$	pochodna kierunkowa, pochodna cząstkowa	$df$ po $dx$ , $i$ -ta pochodna cząstkowa
$\int ,\;\int \limits _{a}^{b},\int \limits _{A}$	całka (nieoznaczona), całka oznaczona od $a$ do $b,$ całka po (zbiorze) $A$
$\iint ,\iiint ,\iiiint ,\oint$	całka podwójna (powierzchniowa), potrójna, poczwórna, krzywoliniowa (okrężna; po krzywej zamkniętej)
$C$	stała całkowania
$(f\colon )A\to B$	odwzorowanie $(f)$ z $A$ w $B$	inne nazwy w artykule funkcja
$x\mapsto y$	wzór funkcji	$x$ przechodzi na $y$
$C^{n},C^{n}(X)$	zbiór funkcji różniczkowalnych $n$ razy (na zbiorze $X$ ) o ciągłej $n$ -tej pochodnej	klasy $C^{n}$ (na $X$ )
$\sum _{i=0}^{n}~a_{i},\sum _{i=0}^{\infty }~a_{i},$	suma, szereg
$\prod _{i=0}^{n}~a_{i},\prod _{i=0}^{\infty }~a_{i}$	iloczyn skończony, iloczyn nieskończony	również produkt
$\lim _{i\to x}~a_{i},a_{i}{\xrightarrow {i\to x}}\;\cdot$	granica ciągu $a_{i}$ przy $i$ dążącym do $x$	limes $a_{i}$ przy $i$ dążącym do $x$
$\lim _{x\to a}~f(x),f(x){\xrightarrow {x\to a}}\;\cdot$	granica funkcji $f$ w punkcie $a$	limes $f(x)$ przy $x$ dążącym do $a$
$\lim _{x\to -a}~f(x),$ $\lim _{x\to a_{-}}~f(x)$	granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $a$
$\lim _{x\to +a}~f(x),$ $\lim _{x\to a_{+}}~f(x)$	granica prawostronna funkcji $f$ w punkcie $a$
$\limsup ,\liminf$	granica górna, dolna	również limes superior, limes inferior
$\sup ,\inf$	kres górny, dolny	również supremum, infimum
$\max ,\min$	maksimum, minimum
$\arg ,\operatorname {Arg}$	argument liczby zespolonej, argument główny liczby zespolonej
$[\ \cdot \ ],\lfloor \cdot \rfloor ,\operatorname {Ent} (\cdot )$	część całkowita	również podłoga, entier
$\lceil \cdot \rceil$	sufit	również powała
$\{\cdot \}$	część ułamkowa	również mantysa
$\operatorname {supp}$	nośnik funkcji, nośnik miary, nośnik permutacji	zwykle po prostu nośnik
$\operatorname {re} ,\Re$	część rzeczywista	również realis
$\operatorname {im} ,\Im$	część urojona	również imaginaris

Niektóre stałe

Symbol	Znaczenie
$\pi$	liczba pi
$e$	podstawa logarytmu naturalnego
$\gamma$	stała Eulera
$\phi$	złota liczba
$i$ , $j$	jednostka urojona

Ważne funkcje

Symbol	Znaczenie	Uwagi
$\sin ,\cos ,\operatorname {tg} ,$ $\sec ,\operatorname {cosec} ,\operatorname {ctg} ,\operatorname {tgi}$	sinus, cosinus, tangens, secans, cosecans, cotangens, tangens całkowy	funkcje trygonometryczne
$\arcsin ,\arccos ,\operatorname {arctg} ,$ $\operatorname {arcsec} ,\operatorname {arccosec} ,\operatorname {arcctg}$	arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens, arcus secans, arcus cosecans, arcus cotangens	funkcje cyklometryczne
$\sinh ,\cosh ,\operatorname {tgh} ,$ $\operatorname {sech} ,\operatorname {cosech} ,\operatorname {ctgh}$	sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny, tangens hiperboliczny, secans hiperboliczny, cosecans hiperboliczny, cotangens hiperboliczny	funkcje hiperboliczne
$\operatorname {tgi} ,\operatorname {arsinh} ,\operatorname {arcosh} ,\operatorname {artgh} ,$ $\operatorname {arsech} ,\operatorname {arcosech} ,\operatorname {arctgh}$	tangens całkowy, area sinus hiperboliczny, area cosinus hiperboliczny, area tangens hiperboliczny, area secans hiperboliczny, area cosecans hiperboliczny, area cotangens hiperboliczny	funkcje area
$\exp ,a^{\cdot }$	funkcja eksponencjalna, funkcja wykładnicza
$\ln ,\log _{2},\log ,\log _{a}$	logarytm naturalny, logarytm binarny, logarytm dziesiętny, logarytm przy podstawie $a$	funkcja logarytmiczna
$\operatorname {Ei} ,\operatorname {li}$	funkcja całkowo-wykładnicza, logarytm całkowy
$\operatorname {Si} ,\operatorname {Ci}$	sinus całkowy, cosinus całkowy
$\operatorname {erf}$	funkcja błędu
$\operatorname {sinc}$	funkcja sinc
$\Gamma$	funkcja gamma
$\psi$	logarytmiczna pochodna
$\zeta$	funkcja dzeta Riemanna
$\operatorname {sign}$	funkcja znaku
$\sigma$	funkcja sigma
$\phi$	funkcja phi
$\pi$	funkcja pi

Algebra

Symbol	Znaczenie	Czytanie
$(\cdot ),[\ \cdot \ ]$	wektor, macierz
$\odot ,\otimes$	wektor skierowany do/od obserwatora
$\oplus$	suma prosta
${\begin{smallmatrix}\cdot \\\perp \end{smallmatrix}}$	ortogonalna suma prosta
$\otimes$	iloczyn tensorowy
$\deg$	stopień wielomianu
$\det ,\|\cdot \|$	wyznacznik	determinant
$\ker$	jądro
$/$	grupa ilorazowa, pierścień ilorazowy	również przez
$\trianglelefteq (\vartriangleleft ),\trianglerighteq (\vartriangleright )$	(właściwa) podgrupa normalna (właściwy) ideał
$\blacktriangleleft (\operatorname {char} ),\blacktriangleright$	podgrupa charakterystyczna
$\times ,\prod$	iloczyn kartezjański, iloczyn prosty	również produkt, produkt prosty
$\times ,\coprod$	iloczyn prosty (zewnętrzny)	również produkt prosty (zewnętrzny)
$\ltimes ,\rtimes ,\leftthreetimes ,\rightthreetimes$	iloczyn półprosty	również produkt półprosty
${\overline {\ \cdot \ }}$	sprzężenie liczby, sprzężenie macierzy (trywialne)
$\cdot ^{\star },{}^{\dagger }$	sprzężenie hermitowskie macierzy
$\cdot ^{T}$	przestawienie macierzy	również transpozycja
$\parallel \centerdot \parallel$	norma

Inne

Symbol	Znaczenie	Czytanie
$\infty$	nieskończoność
$,$	separator dziesiętny	i
$\colon ,\|$		taki, że
$\dim$	wymiar
${\tbinom {n}{k}}$	symbol Newtona	$n$ nad $k$ albo $n$ po $k$
$(a,b),\;(a;b)$ $]a,b[,\;]a;b[,$	przedział (obustronnie) otwarty $a,b$
$[a,b],\;[a;b],$ $\langle a,b\rangle ,\;\langle a;b\rangle$	przedział (obustronnie) domknięty $a,b$
$\pm ,\mp$	plus lub minus, minus lub plus	również plus-minus, minus-plus
$O(\cdot ),o(\cdot ),\Omega (\cdot ),\omega (\cdot ),\Theta (\cdot )$	asymptotyczne tempo wzrostu	oprócz nazw odczytywanych również: jest co najwyżej rzędu, jest rzędu niższego niż, jest co najmniej rzędu, jest rzędu wyższego niż, jest dokładnie rzędu
$\cdot ^{\star }$	sprzężenie hermitowskie
$\operatorname {dom}$	dziedzina
$\operatorname {im} ,\operatorname {rg}$	obraz
$\nabla (\operatorname {grad} ),\Delta ,\Box$	nabla (gradient), laplasjan, dalambercjan	również operator Laplace’a, d’Alemberta
$\operatorname {rot} (\operatorname {curl} ,d),\operatorname {div}$	rotacja, dywergencja
$\otimes ,\times ,\cdot$	iloczyn tensorowy, iloczyn wektorowy, iloczyn skalarny
$\langle \cdot ,\cdot \rangle ,\langle \cdot \|\cdot \rangle ,(\cdot \|\cdot )$	iloczyn skalarny
$\circ$	złożenie funkcji	złożone z
n!	silnia
!n	podsilnia