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Matemática é uma área do conhecimento que inclui os tópicos dos números, fórmulas e estruturas relacionadas, formas e os espaços em que estão contidos, e quantidades e suas mudanças. Esses tópicos são representados na matemática moderna com as principais subdisciplinas da teoria dos números,^[1] álgebra,^[2] geometria^[1] e análise,^[3] respectivamente. No entanto, não há consenso entre os matemáticos sobre uma definição comum para a disciplina acadêmica que estudam.

Grande parte da atividade matemática envolve a descoberta de propriedades de objetos abstratos e o uso da razão pura para prová-las. Estes objetos consistem em abstrações da natureza ou — segundo a matemática moderna — entidades que são estipuladas por certas propriedades, chamadas axiomas. Uma prova matemática consiste em uma sucessão de aplicações de regras dedutivas a resultados já estabelecidos. Estes resultados incluem teoremas previamente provados, axiomas e — no caso de abstração da natureza — algumas propriedades básicas que são consideradas pontos de partida da teoria em consideração.^[4]

A matemática é essencial nas ciências naturais, engenharia, medicina, finanças, ciências da computação e ciências sociais. Embora seja amplamente utilizada para modelar fenômenos, as verdades fundamentais da matemática são independentes de qualquer experimentação científica. Algumas áreas da matemática, como estatística e teoria dos jogos, são desenvolvidas em estreita correlação com suas aplicações e, portanto, são frequentemente agrupadas na matemática aplicada. Outros campos de estudo são desenvolvidos independentemente de qualquer aplicação (e por este motivo são chamados de matemática pura), mas muitas vezes encontram aplicações práticas posteriormente.^[5]^[6]

Historicamente, o conceito de prova e o rigor matemático associado apareceram pela primeira vez na matemática grega, mais notavelmente na obra Os Elementos de Euclides.^[7] Desde o seu início, a matemática foi dividida principalmente em geometria e aritmética (a manipulação de números naturais e frações), até os séculos XVI e XVII, quando a álgebra^[a] e o cálculo infinitesimal foram introduzidos como novos campos. Desde então, a interação entre inovações matemáticas e descobertas científicas levou a um aumento correlacionado no desenvolvimento de ambas.^[8] No final do século XIX, a crise fundamental da matemática levou à sistematização do método axiomático,^[9] que anunciou um aumento dramático no número de áreas matemáticas e seus campos de aplicação.

Etimologia

A palavra matemática vem do grego antigo máthēma e significa "aquilo que se aprende",^[10] "aquilo que se conhece", assim como "estudo" e "ciência". A palavra passou a ter o significado mais restrito e técnico de "estudo matemático" mesmo no período clássico.^[b] Seu adjetivo é mathēmatikós (μαθηματικός), que significa "relacionado à aprendizagem" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático".^[14] Em particular, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; em latim: ars mathematica) significava "a arte matemática".^[10]

Da mesma maneira, uma das duas principais escolas de pensamento do pitagorismo era conhecida em grego antigo como mathēmatikoi (μαθηματικοί) — que na época significava "alunos" ao invés do significado moderno dado ao termo "matemáticos". Os pitagóricos foram provavelmente os primeiros a restringir o uso da palavra apenas ao estudo da aritmética e da geometria. Na época de Aristóteles (384-322 a.C.) este significado foi totalmente estabelecido.^[15]

Em latim até cerca de 1700, o termo matemática tinha como significado mais comum "astrologia" (ou às vezes "astronomia"); isto mudou gradualmente para o significado atual entre 1500 e 1800. Esta mudança resultou em vários erros de tradução: Por exemplo, a advertência de Santo Agostinho de que os cristãos deveriam tomar cuidado com os mathematici, que significa "astrólogos", às vezes é mal traduzida como uma condenação dos matemáticos.^[16]

Áreas da matemática

Antes do período do Renascimento, a matemática era dividida em duas áreas principais: a aritmética, a manipulação dos números, e a geometria, o estudo das formas.^[17] Alguns tipos de pseudociência, como a numerologia e a astrologia, não eram então claramente distinguidas da matemática.^[18]

Durante o período do Renascimento, surgiram mais dois campos de estudo matemáticos. A notação deu origem à álgebra que, a grosso modo, consiste no estudo e na manipulação de fórmulas. O cálculo, que consiste nos dois subcampos diferencial e integral, é o estudo de funções contínuas que modelam as relações tipicamente não lineares entre quantidades representadas por variáveis. Esta divisão em quatro áreas principais – aritmética, geometria, álgebra, cálculo^[19] – perdurou até o final do século XIX. Áreas como mecânica celeste e mecânica dos sólidos eram então estudadas por matemáticos, mas agora são consideradas pertencentes à física.^[20] O tema da combinatória foi estudado durante grande parte da história registrada, mas não se tornou um ramo separado da matemática até o século XVII.^[21]

No final do século XIX, a crise fundamental da matemática e a resultante sistematização do método axiomático levaram a uma explosão de novas áreas da matemática nunca antes vista.^[22]^[9] A edição de 2020 da Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, contém nada menos que 63 áreas matemáticas consideradas de primeiro nível.^[23] Algumas delas correspondem à divisão mais antiga, como é o caso da teoria dos números e da geometria. Várias outras têm "geometria" em seus nomes ou são comumente consideradas parte da geometria. Álgebra e cálculo não aparecem como áreas de primeiro nível, mas são campos divididos em várias áreas. Outras áreas de primeiro nível surgiram durante o século XX ou não eram consideradas anteriormente como parte da matemática, como a lógica e os fundamentos matemáticos.^[24]

Teoria dos Números

Esta é a espiral de Ulam, que ilustra a distribuição dos números primos. As linhas diagonais escuras na espiral sugerem a hipótese de independência aproximada entre ser primo e ser um valor de um polinômio quadrático, uma conjectura agora conhecida como Conjectura F de Hardy e Littlewood.

A teoria dos números teve início com as primeiras manipulações dos números naturais $(\mathbb {N} )$ e posteriormente expandiu-se para números inteiros $(\mathbb {Z} )$ e números racionais $(\mathbb {Q} )$ . Ela já foi chamada de aritmética, mas atualmente este termo é usado principalmente para se referir aos cálculos numéricos.^[25] A teoria dos números remonta à antiga Babilônia e provavelmente à China Antiga. Dois proeminentes teóricos deste campo de estudo matemático foram os gregos Euclides e Diofanto de Alexandria.^[26] O estudo moderno da teoria dos números na sua forma abstrata é amplamente atribuído a Pierre de Fermat e Leonhard Euler, mas este campo se concretizou totalmente com as contribuições do francês Adrien-Marie Legendre e do alemão Carl Friedrich Gauss.^[27]

Muitos problemas numéricos têm soluções que requerem métodos sofisticados. Um exemplo proeminente é o Último Teorema de Fermat, conjectura descrita no ano de 1637 por Pierre de Fermat, mas que foi provada apenas em 1994 por Andrew Wiles, que usou ferramentas incluindo teoria de esquemas de geometria algébrica, teoria de categorias e álgebra homológica.^[28] Outro exemplo é a Conjectura de Goldbach, que afirma que todo número inteiro par maior que 2 é a soma de dois números primos. Declarada em 1742 por Christian Goldbach, permanece sem comprovação, apesar de esforços consideráveis.^[29]

A teoria dos números abrange inúmeras subáreas, como teoria analítica dos números, teoria algébrica dos números, geometria dos números (orientada a métodos), equações diofantinas e teoria da transcendência (orientada a problemas).^[24]

Geometria

A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática e começou com receitas empíricas sobre formas, como linhas, ângulos e círculos, que foram desenvolvidas principalmente para a topografia e a arquitetura, mas desde então floresceram em muitos outros subcampos.^[30]

Uma inovação fundamental foi a introdução, pelos antigos gregos, do conceito de provas, que exige que cada afirmação seja provada. Por exemplo, não é suficiente verificar por medição que, digamos, dois comprimentos são iguais; sua igualdade deve ser provada através do raciocínio a partir de resultados previamente aceitos (teoremas) e de algumas afirmações básicas que não estão sujeitas a prova porque são evidentes (postulados) ou que fazem parte da definição do objeto de estudo (axiomas). Este princípio, fundamental para toda a matemática, foi elaborado pela primeira vez para a geometria e foi sistematizado por Euclides por volta do ano 300 a.C. em sua obra Os Elementos.^[31]^[32]

A geometria euclidiana é o estudo das formas e seus arranjos construídos a partir de retas, planos e círculos no plano e no espaço euclidiano tridimensional.^[c]^[30] Foi desenvolvida sem mudança de métodos ou escopo até o século XVII, quando René Descartes introduziu o que hoje é chamado de coordenadas cartesianas, o que constituiu uma grande mudança de paradigma: em vez de definir números reais como comprimentos de segmentos de reta (ver reta numérica), permitiu a representação de pontos usando suas coordenadas, que são números. A álgebra (e mais tarde o cálculo) pode, portanto, ser usada para resolver problemas geométricos. A geometria foi dividida em dois novos subcampos: geometria sintética, que utiliza métodos puramente geométricos, e geometria analítica, que utiliza coordenadas sistemicamente.^[33] A geometria analítica permite o estudo de curvas não relacionadas a círculos e linhas. Tais curvas podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou à geometria diferencial. Elas também podem ser definidas como equações implícitas, muitas vezes equações polinomiais (que geraram a geometria algébrica). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.^[30]

A geometria analítica permite o estudo das curvas não relacionadas a círculos e linhas que podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou ao surgimento da área da geometria diferencial. Tais curvas também podem ser definidas como equações implícitas, muitas vezes equações polinomiais (que geraram a geometria algébrica). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.^[30]

No século XIX, os matemáticos descobriram geometrias não euclidianas, ou seja, que não seguem o postulado das paralelas. Ao questionar a verdade deste postulado, esta descoberta foi interpretada como uma adesão ao Paradoxo de Russell ao revelar a crise fundamental da matemática. Este aspecto da crise foi resolvido por meio da sistematização do método axiomático e pela noção de que a verdade dos axiomas escolhidos, na verdade, não é um problema matemático.^[34]^[9] Por sua vez, o método axiomático permite o estudo de diversas geometrias obtidas quer pela alteração dos axiomas, quer pela consideração de propriedades que não mudam sob transformações específicas do espaço.^[35]

As subáreas atuais da geometria incluem:^[24]

Geometria projetiva, introduzida no século XVI por Girard Desargues, estende a geometria euclidiana adicionando pontos impróprios nos quais linhas paralelas se cruzam. Isto simplifica muitos aspectos da geometria clássica, unificando os tratamentos para linhas paralelas e que se cruzam.
Geometria afim, o estudo das propriedades relativas ao paralelismo e independentes do conceito de comprimento.
Geometria diferencial, o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas por meio de funções diferenciáveis.
Teoria múltipla, o estudo de formas que não estão necessariamente incorporadas em um espaço maior.
Geometria riemanniana, o estudo das propriedades de distância em espaços curvos.
Geometria algébrica, o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas por meio de polinômios.
Topologia, estudo das propriedades que se mantêm sob deformações contínuas.
- Topologia algébrica, o uso em topologia de métodos algébricos, principalmente álgebra homológica.
Geometria discreta, o estudo de configurações finitas em geometria.
Geometria convexa, estudo de conjuntos convexos.
Geometria complexa, a geometria obtida pela substituição de números reais por números complexos.

Álgebra

A fórmula quadrática, que expressa concisamente as soluções de todas as equações quadráticas

O grupo Cubo de Rubik é uma aplicação concreta da teoria dos grupos^[36]

A álgebra é a arte de manipular equações e fórmulas. Diofanto (século III) e Alcuarismi (século IX) foram os dois principais precursores deste campo de estudo matemático.^[37]^[38] O grego Diofanto resolveu algumas equações envolvendo números naturais desconhecidos ao deduzir novas relações até obter a solução. O persa Alcuarismi, por sua vez, introduziu métodos sistemáticos para transformar equações, como mover um termo de um lado de uma equação para o outro lado. O termo "álgebra" é derivado da palavra árabe al-jabr que significa 'a reunião de partes quebradas' que ele usou para nomear um desses métodos no título de seu tratado principal.^[39]

A álgebra tornou-se uma área independente apenas com François Viète (1540-1603), que introduziu o uso de variáveis para representar números desconhecidos ou não especificados.^[40]

Até o século XIX, a álgebra consistia principalmente no estudo de equações lineares (atualmente álgebra linear) e de equações polinomiais em uma única incógnita, que eram chamadas de equações algébricas (termo ainda em uso, embora possa ser ambíguo). Durante o século XIX, os matemáticos começaram a usar variáveis para representar outras coisas além dos números (como matrizes, inteiros modulares e transformações geométricas), nas quais generalizações de operações aritméticas são frequentemente válidas.^[41] O conceito de estrutura algébrica aborda isto, consistindo em um conjunto cujos elementos não são especificados, em operações que atuam sobre os elementos do conjunto e em regras que essas operações devem seguir. O escopo da álgebra cresceu assim para incluir o estudo de estruturas algébricas. Este objeto da álgebra foi denominado álgebra moderna ou álgebra abstrata, conforme estabelecido pela influência e trabalhos da matemática alemã Emmy Noether.^[42]

Alguns tipos de estruturas algébricas têm propriedades úteis e muitas vezes fundamentais em muitas áreas da matemática. Seu estudo tornou-se parte autônoma da álgebra e inclui vários campos de estudos:^[24]

teoria dos grupos;
teoria de campo;
espaços vetoriais, cujo estudo é essencialmente igual ao da álgebra linear;
teoria dos anéis;
a álgebra comutativa, que é o estudo dos anéis comutativos, inclui o estudo dos polinômios e é uma parte fundamental da geometria algébrica;
álgebra homológica;
Álgebra de Lie e teoria dos Grupos de Lie;
Álgebra booliana, que é amplamente utilizada para o estudo da estrutura lógica de computadores.

O estudo de tipos de estruturas algébricas como objetos matemáticos é o propósito da álgebra universal e da teoria das categorias.^[43] Esta última se aplica a todas as estruturas matemáticas (não apenas às algébricas). Na sua origem foi introduzida juntamente com a álgebra homológica por permitir o estudo algébrico de objetos não algébricos como espaços topológicos; esta área específica de aplicação é chamada de topologia algébrica.^[44]

Cálculo e análise

Uma Sequência de Cauchy consiste em elementos tais que todos os termos subsequentes de um termo tornam-se arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que a sequência avança (da esquerda para a direita).

O cálculo, anteriormente chamado de cálculo infinitesimal, foi introduzido de forma independente e simultânea por dois matemáticos do século XVII, Newton e Leibniz.^[45] É fundamentalmente o estudo da relação de variáveis que dependem umas das outras. O cálculo foi expandido no século XVIII por Euler com a introdução do conceito de função e muitos outros resultados.^[46]

Atualmente, “cálculo” refere-se principalmente à parte elementar desta teoria, e “análise” é comumente usada para partes avançadas. A análise é subdividida em análise real, onde as variáveis representam números reais, e análise complexa, onde as variáveis representam números complexos. Ela inclui muitas subáreas compartilhadas por outras áreas da matemática como:^[24]

Cálculo multivariável;
Análise funcional, onde variáveis representam funções variáveis;
Integração, teoria da medida e teoria do potencial, todas fortemente relacionadas com a teoria das probabilidades num continuum;
Equações diferenciais ordinárias;
Equações diferenciais parciais;
Análise numérica, dedicada principalmente ao cálculo em computadores de soluções de equações diferenciais ordinárias e parciais que surgem em muitas aplicações.

Matemática discreta

Um diagrama representando uma cadeia de Markov de dois estados. Os estados são representados por 'A' e 'E'. Os números são a probabilidade de inverter o estado.

A matemática discreta, em termos gerais, é o estudo de objetos matemáticos individuais e contáveis.^[47] Como os objetos de estudo aqui são discretos, os métodos de cálculo e análise matemática não se aplicam diretamente.^[d] Algoritmos — especialmente sua implementação e complexidade computacional — desempenham um papel importante na matemática discreta.^[48]

O teorema das quatro cores e a conjectura de Kepler foram dois grandes problemas da matemática discreta resolvidos na segunda metade do século XX.^[49] O problema P versus NP, que permanece não solucionado até os dias atuais, também é importante para a matemática discreta, uma vez que sua solução impactaria potencialmente um grande número de problemas computacionalmente difíceis.^[50]

A matemática discreta inclui:^[24]

Combinatória, a arte de enumerar objetos matemáticos que satisfazem algumas restrições. Originalmente, estes objetos eram elementos ou subconjuntos de um determinado conjunto; isto foi estendido a vários objetos, o que estabelece uma forte ligação entre a combinatória e outras partes da matemática discreta. Por exemplo, a geometria discreta inclui a contagem de configurações de formas geométricas;
Teoria dos grafos e hipergrafos;
Teoria da codificação, incluindo códigos de correção de erros e uma parte da criptografia;
Teoria matróide;
Geometria discreta;
Distribuições de probabilidade discretas;
Teoria dos jogos (embora os jogos contínuos também sejam estudados, os jogos mais comuns, como xadrez e pôquer, são discretos);
Otimização discreta, incluindo otimização combinatória, programação inteira, programação com restrições.

Lógica matemática e teoria dos conjuntos

O diagrama de Venn é um método comumente usado para ilustrar as relações entre conjuntos.

A disciplinas de lógica matemática e teoria dos conjuntos pertencem à matemática desde o final do século XIX.^[51]^[52] Antes deste período, os conjuntos não eram considerados objetos matemáticos, e a lógica, embora usada em provas matemáticas, pertencia à filosofia e não era estudada especificamente pelos matemáticos.^[53]

Antes do estudo de Cantor sobre conjuntos infinitos, os matemáticos relutavam em considerar coleções realmente infinitas e consideravam o infinito o resultado de uma enumeração infinita. O trabalho de Cantor ofendeu muitos matemáticos não apenas por considerar conjuntos realmente infinitos,^[54] mas por mostrar que isto implica em diferentes tamanhos de infinito, de acordo com o argumento de diagonalização de Cantor.^[55] Esta se tornou a crise fundamental da matemática.^[56] Posteriormente, este problema foi resolvido na matemática convencional, ao sistematizar o método axiomático dentro de uma teoria de conjuntos formalizada. A grosso modo, cada objeto matemático é definido pelo conjunto de todos os objetos semelhantes e pelas propriedades que esses objetos devem ter.^[22] Por exemplo, na aritmética de Peano, os números naturais são definidos por "zero é um número", "cada número tem um sucessor único", "cada número exceto zero tem um antecessor único" e algumas regras de raciocínio.^[57] Esta abstração matemática da realidade está incorporada na filosofia moderna do formalismo, fundada por David Hilbert por volta de 1910.^[58]

A "natureza" dos objetos definidos desta forma é um problema filosófico que os matemáticos deixam para os filósofos, mesmo que muitos matemáticos tenham opiniões— por vezes chamada de "intuições" — sobre isto e as usem para orientar o seu estudo e provas. A abordagem permite considerar "lógicas" (isto é, conjuntos de regras de dedução permitidas), teoremas, provas, etc, como objetos matemáticos e, assim, provar teoremas sobre eles. Por exemplo, os teoremas da incompletude de Gödel afirmam, a grosso modo, que, em todo sistema formal consistente que contém os números naturais, existem teoremas que são verdadeiros (que são demonstráveis num sistema mais forte), mas não demonstráveis dentro do sistema.^[59] Esta abordagem aos fundamentos da matemática foi desafiada durante a primeira metade do século XX por matemáticos liderados por Brouwer, que promoveram a lógica intuicionista, que carece explicitamente da lei do terceiro excluído.^[60]^[61] Estes problemas e debates acadêmicos levaram a uma ampla expansão da abrangência da lógica matemática, com o surgimento de subáreas como teoria dos modelos (modelagem de algumas teorias lógicas dentro de outras teorias), teoria da prova, teoria dos tipos, teoria da computabilidade e teoria da complexidade computacional.^[24] Embora estes aspectos da lógica matemática tenham sido introduzidos antes do surgimento dos computadores, a sua utilização no design de compiladores, certificação de programas e outros aspectos da ciência da computação, contribuíram para a expansão destas teorias lógicas.^[62]

Estatísticas e outras ciências de decisão

Algo se torna objetivo (em oposição a "subjetivo") assim que estamos convencidos de que existe nas mentes dos outros da mesma forma que existe nas nossas e que podemos pensar sobre isso e discuti-lo juntos.^[63] Como a linguagem da matemática é tão precisa, ela é ideal para definir conceitos para os quais existe tal consenso. Na minha opinião, isso é suficiente para nos fornecer um sentimento de uma existência objetiva, de uma realidade matemática...

Qualquer que seja a forma de uma distribuição populacional aleatória (μ), a média amostral (x̄) tende para uma distribuição gaussiana e sua variância (σ) é dada pelo teorema central do limite da teoria das probabilidades.^[64]

O campo de estudo da estatística é uma aplicação matemática empregada para a coleta e o processamento de amostras de dados, por meio do uso de procedimentos baseados em métodos matemáticos, especialmente a teoria das probabilidades. Os estatísticos geram dados com experimentos ou amostragem aleatória,^[65] cujo desenho determina os métodos analíticos que serão utilizados. A análise dos dados de estudos observacionais é feita pela utilização de modelos estatísticos e da teoria da inferência, por meio de modelos de seleção e estimativa. Os modelos e as previsões consequentes devem então ser testados em relação a novos dados.^[e]

A teoria estatística estuda problemas de decisão como a minimização do risco de uma ação estatística ao usar um procedimento, por exemplo, estimativa de parâmetros, teste de hipóteses e seleção de algoritimos. Nestas áreas tradicionais da estatística matemática, um problema de decisão estatística é formulado minimizando uma função de perda sob restrições específicas. Por exemplo, conceber uma pesquisa estatística frequentemente envolve minimizar o custo de estimar a média da população com alguma confiança.^[66] Devido ao uso da otimização, a teoria estatística se sobrepõe a outras ciências da decisão, como a pesquisa operacional, a teoria do controle e a economia matemática.^[67]

Matemática computacional

A matemática computacional é o estudo de problemas matemáticos que normalmente são grandes demais para a capacidade numérica dos seres humanos.^[68]^[69] A análise numérica estuda métodos para problemas de análise utilizando a análise funcional e a teoria de aproximação; a análise numérica inclui o estudo de aproximação e discretização com foco especial em erros de arredondamento.^[70]

História

Antiguidade

A tabuleta matemática babilônica *Plimpton 322*, datada de 1800 a.C.

Papiro de Rhind, um documento antigo contendo problemas matemáticos

A história da matemática é uma série cada vez maior de abstrações. Evolutivamente falando, a primeira abstração a ser descoberta, compartilhada por muitos animais,^[71] foi provavelmente a dos números: a constatação de que, por exemplo, uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (digamos) têm algo em comum, nomeadamente que existem duas delas. Além de reconhecerem como contar objetos físicos, os povos pré-históricos também podem ter sabido contar quantidades abstratas, como o tempo — dias, estações ou anos.^[72]^[73]

As primeiras evidências de matemática mais complexa só começam a aparecer por volta de 3.000 a.C., quando os povos babilônios e egípcios iniciam o uso de aritmética, álgebra e geometria para estimar seus impostos e fazer outros cálculos financeiros voltados para construção e astronomia.^[74] Os textos matemáticos mais antigos da Mesopotâmia e do Egito datam de 2000 a.C. a 1800 a.C.. Muitos textos antigos mencionam triplos pitagóricos e assim, por inferência, o teorema de Pitágoras parece ser o conceito matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e geometria básicas. É na matemática babilônica que a aritmética elementar (adição, subtração, multiplicação e divisão) aparece pela primeira vez no registro arqueológico. Os babilônios também possuíam um sistema de valor posicional e usavam um sistema de numeração sexagesimal que ainda é usado atualmente para medir ângulos e o tempo.^[75]

No século VI a.C., a matemática grega começou a emergir como uma disciplina distinta e alguns gregos antigos, como os pitagóricos, pareciam tê-la considerado um assunto por direito próprio.^[76] Por volta do ano 300 a.C., Euclides organizou o conhecimento matemático por meio de postulados e primeiros princípios, que evoluíram para o método axiomático usado atualmente na matemática, que consiste em definição, axioma, teorema e prova matemáticas.^[77] Sua obra, Os Elementos, é amplamente considerada o livro didático de maior sucesso e influência de todos os tempos.^[78] O maior matemático da antiguidade é frequentemente considerado Arquimedes (c. 287) de Siracusa.^[79] Ele desenvolveu fórmulas para calcular a área superficial e o volume de sólidos de revolução e usou o método da exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com a soma de uma série infinita, de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno.^[80] Outras conquistas notáveis da matemática grega são seções cônicas (Apolônio de Perga, século III a.C.),^[81] trigonometria (Hiparco de Nicéia, século II a.C.)^[82] e os primórdios da álgebra (Diofanto, século III d.C.).^[83]

Os numerais usados no Manuscrito Bakhshali, datados entre o século II a.C. e o século II d.C.

O sistema de numeração hindu-arábico e as regras para o uso de suas operações, em uso atualmente em todo o planeta, evoluíram no decorrer do primeiro milênio na Índia e foram transmitidos ao mundo ocidental através da matemática islâmica.^[84] Outros desenvolvimentos notáveis da matemática indiana incluem a moderna definição e aproximação de seno e cosseno, além de uma forma inicial de séries infinitas.^[85]^[86]

Medieval e posterior

Uma página da obra *Álgebra* de Alcuarismi

Durante a Idade de Ouro Islâmica, especialmente durante os séculos IX e X, a matemática islâmica desenvolveu várias inovações importantes baseadas na matemática grega. A conquista mais notável da matemática islâmica foi o desenvolvimento da álgebra. Outras conquistas do período islâmico incluem avanços na trigonometria esférica e a adição do ponto decimal ao sistema de numeração arábico.^[87] Muitos matemáticos notáveis deste período eram persas, como Alcuarismi, Omar Caiam e Xarafadim de Tus.^[88] Os textos matemáticos gregos e árabes foram, por sua vez, traduzidos para o latim durante a Idade Média e reintroduzidos na Europa. ^[89]

No início da Idade Moderna, a matemática começou a desenvolver-se em ritmo acelerado na Europa Ocidental, com inovações revolucionárias, como a introdução de variáveis e da notação simbólica pelo francês François Viète (1540–1603), a introdução de logaritmos pelo escocês John Napier em 1614, que simplificou bastante os cálculos numéricos, especialmente para astronomia e navegação marítima, a introdução de coordenadas pelo francês René Descartes (1596-1650) para reduzir a geometria à álgebra, além do desenvolvimento do cálculo pelo inglês Isaac Newton (1642-1726/27) e pelo alemão Gottfried Leibniz (1646–1716). O suíço Leonhard Euler (1707-1783), o mais notável matemático do século XVIII, unificou todas estas inovações com uma terminologia padronizada e completou-as com a descoberta e a prova de vários teoremas.^[90]

Talvez o principal matemático do século XIX tenha sido o alemão Carl Gauss, conhecido por ter feito inúmeras contribuições nos mais variados campos, como álgebra, análise, geometria diferencial, teoria das matrizes, teoria dos números e estatística.^[91] Já no início do século XX, o austríaco Kurt Gödel transformou a matemática ao publicar os seus teoremas da incompletude, que mostram em parte que qualquer sistema axiomático consistente — se for suficientemente poderoso para descrever a aritmética — conterá proposições verdadeiras que não podem ser provadas.^[59]

Desde então, a matemática foi bastante ampliada e tem havido uma interação frutífera com as ciências, com benefícios para ambas. Descobertas matemáticas continuam a ser feitas até os dias atuais. Por exemplo, de acordo com a edição de janeiro de 2006 do Bulletin of the American Mathematical Society: "O número de artigos e livros incluídos no banco de dados da Mathematical Reviews desde 1940 (o primeiro ano de operação da MR) é agora superior a 1,9 milhão e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados anualmente. A esmagadora maioria dos trabalhos neste oceano contém novos teoremas matemáticos e suas provas."^[92]

Notação simbólica e terminologia

Uma explicação da notação de soma sigma (Σ)

A notação matemática é amplamente utilizada na ciência e na engenharia para representar conceitos e propriedades complexas de forma concisa, inequívoca e precisa. Esta notação consiste em símbolos usados para representar operações, números não especificados, relações e quaisquer outros objetos matemáticos, e depois montá-los em expressões e fórmulas.^[93] Mais precisamente, os números e outros objetos matemáticos são representados por símbolos chamados variáveis, que geralmente são letras latinas ou gregas. Operação e relações são geralmente representadas por símbolos ou glifos específicos,^[94] como $+$ (mais), $\times$ (multiplicação), ${\textstyle \int }$ (integral), $=$ (igual) e $<$ (menor que).^[95] Todos esses símbolos são geralmente agrupados de acordo com regras específicas.^[96]

A matemática desenvolveu uma terminologia rica que cobre uma ampla variedade de campos que estudam as propriedades de vários objetos e suas interações, sendo que fornecem uma base padrão para a comunicação. Um axioma ou postulado, por exemplo, é uma afirmação matemática considerada verdadeira sem necessidade de prova. Se uma afirmação matemática ainda não foi provada (ou refutada), ela é chamada de conjectura. Através de uma série de argumentos rigorosos empregando raciocínio dedutivo, uma afirmação que é comprovadamente verdadeira torna-se um teorema. Um teorema especializado usado principalmente para provar outro teorema é chamado de lema. Um exemplo comprovado que faz parte de uma conclusão mais geral é denominado corolário.^[97]

Vários termos técnicos usados em matemática são neologismos, como polinômio e homeomorfismo.^[98] Outros termos técnicos são palavras da linguagem comum usadas com um significado preciso que pode diferir ligeiramente do seu significado comum. Por exemplo, em matemática, "ou" significa "um, o outro ou ambos", enquanto, na linguagem comum, é ambíguo ou significa "um ou outro, mas não ambos" (em matemática, o último é chamado de "ou exclusivo"). Muitos termos matemáticos são palavras comuns usadas com um significado completamente diferente.^[99]

Relação com as ciências

A matemática é usada na maioria das ciências para modelar fenômenos, o que permite que previsões sejam feitas a partir de leis experimentais.^[100] A independência da matemática de qualquer experimentação implica que a precisão de tais previsões depende apenas da adequação do modelo.^[101] No caso de previsões imprecisas, ao invés delas serem causadas por conceitos matemáticos inválidos, na verdade implicam na necessidade de alteração do modelo utilizado.^[102] Por exemplo, a precessão do periélio do planeta Mercúrio só pôde ser explicada após o desenvolvimento da relatividade geral do alemão Albert Einstein, que substituiu a lei da gravitação universal do inglês Isaac Newton como um modelo matemático melhor.^[103]

Atualmente, ainda há um debate filosófico sobre se a matemática pode ser classificada como uma ciência. No entanto, na prática, os matemáticos são normalmente considerados cientistas e a matemática tem muito em comum com as ciências físicas, já que é falsificável como elas, o que significa em que, se um resultado ou uma teoria estiverem errados, isto pode ser provado por meio da apresentação de um contraexemplo. Da mesma forma que na ciência, as teorias e os resultados matemáticos (teoremas) são frequentemente obtidos a partir da experimentação,^[104] que pode consistir na computação de exemplos selecionados ou no estudo de figuras ou de outras representações de objetos matemáticos (muitas vezes representações mentais sem suporte físico). Por exemplo, quando questionado sobre como conseguiu seus teoremas, Gauss certa vez respondeu "durch planmässiges Tattonieren" ("através de experimentação sistemática").^[105] Contudo, alguns autores enfatizam que a matemática difere da noção moderna de ciência por não se basear em evidências empíricas.^[106]^[107]^[108]^[109]

Matemática pura e aplicada

Isaac Newton (esquerda) and Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o cálculo infinitesimal

Até ao século XIX, o desenvolvimento da matemática no mundo ocidental era motivado principalmente pelas necessidades trazidas pela tecnologia e ciência, sendo que não havia uma distinção clara entre matemática pura e aplicada.^[110] Por exemplo, os números naturais e a aritmética foram introduzidos pela necessidade de contagem, enquanto a geometria foi motivada pela topografia, arquitetura e astronomia. Mais tarde, Isaac Newton introduziu o conceito do cálculo infinitesimal para explicar o movimento dos planetas com sua lei da gravitação universal. Além disso, a maioria dos matemáticos eram cientistas e muitos cientistas também eram matemáticos.^[111] Contudo, uma exceção notável ocorreu com a tradição da matemática pura na Grécia Antiga.^[112] O problema da fatoração de inteiros, por exemplo, que remonta a Euclides em 300 a.C., não tinha aplicação prática antes de seu uso no criptossistema RSA, que atualmente é amplamente utilizado para a segurança de redes de computadores.^[113] No século XIX, matemáticos como os alemães Karl Weierstrass e Richard Dedekind concentraram cada vez mais as suas pesquisas em problemas internos, ou seja, na chamada matemática pura.^[110]^[114] Isto levou à divisão da matemática em matemáticas pura e aplicada, sendo a última geralmente considerada de menor valor entre os puristas matemáticos. No entanto, a linha que diferencia as duas é tênue.^[115]

As consequências da Segunda Guerra Mundial levou a um aumento no desenvolvimento da matemática aplicada nos Estados Unidos e em outros lugares.^[116]^[117] Muitas das teorias desenvolvidas para aplicações foram consideradas interessantes do ponto de vista da matemática pura e muitos resultados da matemática pura demonstraram ter aplicações fora da matemática; por sua vez, o estudo destas aplicações poderá fornecer novos desenvolvimentos sobre a “teoria pura”.^[118]^[119] Um exemplo do primeiro caso é a teoria das distribuições, introduzida por Laurent Schwartz para validar cálculos feitos em mecânica quântica, que se tornou imediatamente uma importante ferramenta de análise matemática (pura).^[120] Um exemplo do segundo caso é a decidibilidade da teoria de primeira ordem dos números reais, um problema de matemática pura que foi provado verdadeiro por Alfred Tarski, com um algoritmo impossível de implementar devido a uma complexidade computacional bastante elevada.^[121] Para obter um algoritmo que possa ser implementado e possa resolver sistemas de equações e desigualdades polinomiais, o matemática estadunidense George Collins introduziu a decomposição algébrica cilíndrica que se tornou uma ferramenta fundamental na geometria algébrica real.^[122] Nos dias atuais, a distinção entre matemática pura e aplicada é mais uma questão de objetivo de pesquisa do que uma divisão da matemática em áreas amplas.^[123]^[124] A Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, tem uma seção para "matemática geral aplicada", mas não menciona "matemática pura".^[24]

Eficácia irracional

A eficácia irracional da matemática é um fenômeno que foi nomeado e explicitado pela primeira vez pelo físico Eugene Wigner^[6] e descreve o fato de que muitas teorias matemáticas (mesmo as mais “puras”) têm aplicações fora do seu objeto inicial. Estas aplicações podem estar completamente fora da sua área inicial e podem dizer respeito a fenômenos físicos que eram completamente desconhecidos quando a teoria matemática foi introduzida.^[125] Um exemplo notável é a fatoração primária de números naturais que foi descoberta mais de 2 mil anos antes de seu uso comum para comunicações seguras na Internet através do sistema criptográfico RSA.^[126] Um segundo exemplo histórico é a teoria das elipses. Elas foram estudadas pelos antigos matemáticos gregos como seções cônicas (isto é, interseções de cones com planos). Quase 2 mil anos depois, Johannes Kepler descobriu que as trajetórias dos planetas são elipses.^[127]

Durante o século XIX, o desenvolvimento interno da geometria (ou matemática pura) levou à definição e ao estudo de geometrias não euclidianas, espaços de dimensão superior a três e variedades. Neste período, estes conceitos pareciam totalmente desligados da realidade física. No início do século XX, no entanto, o alemão Albert Einstein desenvolveu a teoria da relatividade que utiliza fundamentalmente estes conceitos, principalmente o espaço-tempo da relatividade restrita é um espaço não euclidiano de dimensão quatro, enquanto o espaço-tempo da relatividade geral é uma variedade (curva) de dimensão quatro.^[128]^[129]

Um aspecto marcante da interação entre matemática e física é quando a matemática impulsiona a pesquisa em física, o que é exemplificado pelas descobertas do pósitron e do bárion $\Omega ^{-}$ . Em ambos os casos, as equações das teorias apresentavam soluções inexplicáveis, o que levou à conjectura da existência de uma partícula desconhecida. Em ambos os casos, estas partículas foram descobertas alguns anos depois através de experiências específicas.^[130]^[131]^[132]

Ciências específicas

Física

A matemática e a física influenciaram-se mutuamente ao longo da história moderna. A física moderna utliza amplamente a matemática^[133] e é também a motivação por trás de grandes desenvolvimentos na matemática.^[134]

Informática

A ascensão da tecnologia no século XX abriu caminho para uma nova ciência: a computação.^[f] Este campo está intimamente relacionado à matemática de várias maneiras. A ciência da computação teórica, por exemplo, é essencialmente de natureza matemática. Em contrapartida, a informática também se tornou essencial para a obtenção de novos resultados. Este é um grupo de técnicas conhecidas como matemática experimental.^[135] O exemplo mais conhecido é o teorema das quatro cores, comprovado em 1976 com a ajuda de um computador. Isto revolucionou a matemática tradicional, onde a regra até então era que o matemático verificasse cada parte da prova. Em 1998, a conjectura de Kepler sobre empacotamento de esferas também parecia ter sido parcialmente comprovada por um computador. Desde então, uma equipe internacional trabalhou na redação de uma prova formal, que foi concluída (e verificada) em 2015.^[136] Um grande problema em aberto na ciência da computação teórica é P versus NP, um dos sete Problemas do Prêmio Millennium.^[137]

Biologia

A pele deste baiacu gigante exibe um padrão de Turing, que pode ser modelado por sistemas de reação-difusão

A biologia utiliza extensivamente a probabilidade, como por exemplo na ecologia ou na neurobiologia.^[138] A maior parte do debate sobre probabilidade em biologia, entretanto, centra-se no conceito de aptidão evolutiva.^[138]

A ecologia usa amplamente a modelagem para simular a dinâmica populacional,^[138]^[139] estudar ecossistemas como o modelo predador-presa, medir a difusão da poluição,^[140] ou para avaliar as mudanças climáticas.^[141] A dinâmica de uma população pode ser modelada por equações diferenciais acopladas, como as equações de Lotka-Volterra.^[142] No entanto, existe o problema da validação do modelo. Isto é particularmente grave quando os resultados da modelização influenciam as decisões políticas; a existência de modelos contraditórios poderia permitir às nações escolher o modelo mais favorável.^[143]

Ciências sociais

As áreas da matemática utilizadas nas ciências sociais incluem probabilidade/estatística e equações diferenciais, que são usadas em linguística, economia, sociologia^[144] e psicologia.^[145]

Curvas de oferta e demanda, como esta, são um elemento básico da economia matemática.

O postulado fundamental da economia matemática é o do ator individual racional – Homo economicus (lit. "homem econômico").^[146] Neste modelo, o indivíduo busca maximizar seu interesse próprio^[146] e sempre faz escolhas ótimas usando informações perfeitas.^[147] Contudo, muitas pessoas rejeitaram ou criticaram o conceito.^[147] Economistas observam que pessoas reais têm informações limitadas, fazem escolhas erradas e se preocupam com a justiça, o altruísmo e não apenas com o ganho pessoal.^[147]

No início do século XX, houve um desenvolvimento no sentido de expressar movimentos históricos através de fórmulas. Por exemplo, em 1922, Nikolai Kondratiev discerniu o ciclo Kondratiev de aproximadamente 50 anos, que explica fases de crescimento ou de crise econômica.^[148] No final do século XIX, Nicolas-Remi Brück e Charles Henri Lagrange estenderam suas análises à geopolítica.^[149] Desde a década de 1990, o antropólogo evolucionário russo-americano,Peter Turchin trabalha no desenvolvimento da cliodinâmica.^[150]

Mesmo assim, a matematização das ciências sociais não é isenta de perigos. No polêmico livro Imposturas Intelectuais (1997), Sokal e Bricmont denunciaram o uso infundado ou abusivo de terminologia científica, especialmente da matemática ou da física, nas ciências sociais.^[151]

Relação com astrologia e esoterismo

Alguns matemáticos renomados também foram considerados astrólogos renomados; por exemplo, Ptolomeu, astrônomos árabes, Regiomontano, Cardano, Kepler, ou John Dee. Na Idade Média, a astrologia era considerada uma ciência que incluía a matemática. Em sua enciclopédia, o físico suíço Theodor Zwinger escreveu que a astrologia era uma ciência matemática que estudava o "movimento ativo dos corpos à medida que agem sobre outros corpos" e reservou à matemática a necessidade de “calcular com probabilidade as influências [das estrelas]” para prever suas “conjunções e oposições”.^[152] Atualmente, no entanto, a astrologia não é mais considerada uma ciência, mas sim uma pseudociência.^[153]

Filosofia

Realidade

O matemático suíço Armand Borel resumiu esta visão da realidade matemática da seguinte forma, e forneceu citações de G. H. Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré e Albert Einstein que apoiam seus pontos de vista.^[130] Entretanto, o platonismo e as visões concorrentes sobre a abstração não explicam necessariamente a eficácia irracional da matemática.^[154]

Definições propostas

Não existe um consenso geral sobre uma definição de matemática ou o seu estatuto epistemológico — isto é, o seu lugar entre outras atividades humanas.^[155]^[156] Muitos matemáticos profissionais não têm interesse em uma definição ou consideram a matemática como algo indefinível.^[155] Sequer há consenso sobre se a matemática pode ser considerada uma arte ou uma ciência.^[156] Alguns estudiosos apenas dizem que a “matemática é o que os matemáticos fazem”.^[155] Isto faz sentido, pois existe um forte consenso entre eles sobre o que a matemática é e não é. A maioria das definições propostas tenta definir a matemática pelo seu objeto de estudo.^[157]

Aristóteles definiu a matemática como “a ciência da quantidade” e esta definição prevaleceu até o século XVIII. No entanto, ele também observou que o foco apenas na quantidade pode não distinguir a matemática de ciências como a física; em sua opinião, a abstração e o estudo da quantidade como uma propriedade "separável no pensamento" das instâncias reais diferenciam a matemática.^[158] No século XIX, quando os matemáticos começaram a abordar temas que não têm uma relação clara com a realidade física, como os conjuntos infinitos, foram dadas uma variedade de novas definições.^[159]

Outra abordagem para definir matemática é fazer uso de seus métodos. Assim, uma área de estudo pode ser qualificada como matemática desde que possa provar teoremas, ou seja, afirmações cuja validade depende de uma prova, isto é, de uma dedução puramente lógica.^[160] Outros, no entanto, assumem a perspectiva de que a matemática é uma investigação da teoria axiomática dos conjuntos, já que este estudo é atualmente uma disciplina fundamental para grande parte da matemática moderna.^[161]

Rigor

O raciocínio matemático requer rigor. Isso significa que as definições devem ser absolutamente inequívocas e as provas devem ser redutíveis a uma sucessão de aplicações de regras de inferência,^[g] sem qualquer uso de evidência empírica e intuição.^[h]^[162] O raciocínio rigoroso não é específico da matemática, mas o padrão de rigor é muito mais alto do que em outros campos de estudo. Apesar da concisão da matemática, provas rigorosas podem exigir centenas de páginas para serem expressas. O surgimento de provas assistidas por computador permitiu que os comprimentos das provas se expandissem ainda mais,^[i]^[163] como o teorema de Feit-Thompson de 255 páginas.^[j] O resultado desta tendência é uma filosofia da prova quase empirista, mas que não pode ser considerada infalível.^[9]

O conceito de rigor na matemática remonta à Grécia Antiga, onde a sociedade incentivava o raciocínio lógico e dedutivo. No entanto, o rigor tenderia a desencorajar a exploração de novas abordagens, tais como números irracionais e conceitos de infinito. O método de demonstração de provas rigorosas foi aprimorado ao longo do século XVI através do uso de notação simbólica. Durante o século XVIII, a transição social permitiu que os matemáticos passassem a ganhar seu sustento através do ensino, o que levou a uma reflexão mais cuidadosa sobre os conceitos subjacentes à matemática e produziu abordagens mais rigorosas durante a transição de métodos geométricos para provas algébricas e depois aritméticas.^[9]

No final do século XIX, parecia que as definições dos conceitos básicos da matemática não eram suficientemente precisas para evitar paradoxos (geometria não euclidiana e função de Weierstrass) e contradições (paradoxo de Russell), o que foi resolvido pela inclusão de axiomas nas regras de inferência apodítica das teorias matemáticas; a reintrodução do método axiomático iniciado pelos antigos gregos antigos.^[9] "Rigor" não é mais um conceito relevante em matemática, pois uma prova ou é correta ou é errônea, sendo que uma "prova rigorosa" é simplesmente um pleonasmo. Onde um conceito especial de rigor é aceito é nos aspectos socializados de uma prova, onde pode ser comprovadamente refutado por outros matemáticos. Depois de uma prova ter sido aceita por muitos anos ou mesmo décadas, ela pode então ser considerada confiável.^[164] No entanto, o conceito de “rigor” ainda pode continuar sendo útil para ensinar aos iniciantes o que é uma prova matemática.^[165]

Treinamento e prática

Educação

A matemática tem uma capacidade evidente de cruzar fronteiras culturais e períodos de tempo. Como atividade humana, a prática da matemática tem um aspecto social, que inclui educação, profissão, reconhecimento, popularização e assim por diante. Na educação, a matemática é uma parte central do currículo e constitui um elemento importante das disciplinas acadêmicas do grupo STEM. Carreiras proeminentes para matemáticos profissionais incluem professor de matemática, estatístico, atuário, analista financeiro, economista, contador, consultor de informática, entre outras.^[166]

Evidências arqueológicas mostram que o ensino da matemática ocorreu já no segundo milênio a.C., na antiga Babilônia.^[167] Evidências comparáveis foram descobertas nos escribas no Antigo Oriente Próximo e depois no mundo greco-romano, começando por volta do ano 300 a.C..^[168] O livro didático de matemática mais antigo conhecido é o Papiro de Rhind, datado de c. 1650 a.C. no Egito Antigo.^[169] Devido à escassez de livros, os ensinamentos matemáticos na Índia Antiga foram repassados através da tradição oral memorizada desde o período védico (c. 1500-500 a.C.).^[170] Na China Imperial, durante a dinastia Tang (618-907 d.C.), um currículo de matemática foi adotado para concursos públicos para ingressar na burocracia estatal.^[171]

Após a Idade das Trevas, a educação matemática na Europa era ministrada por escolas religiosas como parte do Quadrívio. A instrução formal em pedagogia começou nas escolas jesuítas ao longo dos séculos XVI e XVII. A maior parte do currículo matemático, no entanto, permaneceu em um nível básico e prático até o século XIX, quando começou a florescer na França e na Alemanha. O periódico mais antigo abordando o ensino de matemática foi L'Enseignement Mathématique, que começou a ser publicado no ano de 1899.^[172] Os avanços do mundo ocidental na ciência e na tecnologia levaram ao estabelecimento de sistemas educativos centralizados em muitos Estados-nação, sendo a matemática um componente central — inicialmente por conta das suas aplicações militares.^[173] Embora o conteúdo dos cursos varie, atualmente quase todos os países ensinam matemática aos seus alunos.^[174]

Durante a escola, as capacidades matemáticas e as expectativas positivas têm uma forte associação com o interesse profissional na área. Fatores extrínsecos, como apoio de professores, pais e grupos de pares, podem influenciar o nível de interesse pela matemática.^[175] Alguns alunos que estudam matemática podem desenvolver apreensão ou medo em relação ao seu desempenho na matéria, o que é conhecido como ansiedade matemática ou fobia matemática e é considerado o mais proeminente dos distúrbios que afetam o desempenho acadêmico. Isto pode se desenvolver devido a vários fatores, como atitudes dos pais e professores, estereótipos sociais e características pessoais. A ajuda para neutralizar este problema pode advir de mudanças nas abordagens instrucionais, de interações com pais e professores e de tratamentos personalizados para cada estudante.^[176]

Psicologia (estética, criatividade e intuição)

A validade de um teorema matemático depende apenas do rigor da sua prova, que teoricamente poderia ser feita automaticamente por um programa de computador. Isto não significa que não há lugar para criatividade num trabalho matemático. Pelo contrário, muitos resultados matemáticos importantes (teoremas) são soluções de problemas que outros matemáticos não conseguiram resolver e a invenção de uma forma de resolução pode ser uma forma fundamental do processo de resolução.^[177]^[178] Um exemplo extremo é o teorema de Roger Apéry, cujo autor forneceu apenas as ideias para uma prova e a prova formal foi dada apenas alguns meses depois por três outros matemáticos.^[179]

A criatividade e o rigor não são os únicos aspectos psicológicos da atividade dos matemáticos. Alguns deles podem ver a sua atividade como um jogo. Este aspecto da atividade matemática é enfatizado na matemática recreativa.^[180] Os matemáticos podem encontrar um valor estético para o seu campo de estudo. Assim como a beleza, a matemática é difícil de definir, está comumente relacionada à elegância, que envolve qualidades como simplicidade, simetria, completude e generalidade. G. H. Hardy, em sua obra Apologia do Matemático, expressou a crença de que as considerações estéticas são, em si, suficientes para justificar o estudo da matemática pura. Ele também identificou outros critérios, como significância, imprevisibilidade e inevitabilidade, que contribuem para a estética matemática.^[181] Paul Erdős expressou este sentimento de forma mais irônica ao falar de "O Livro", uma suposta coleção divina das mais belas provas. A obra literária Provas conforme O Livro de 1998, inspirado no livro de Erdős, é uma coleção de argumentos matemáticos particularmente sucintos e reveladores. Alguns exemplos de resultados particularmente elegantes incluídos são a prova de Euclides de que existem infinitos números primos e a transformada rápida de Fourier para análise harmônica.^[182]

Alguns acham que considerar a matemática uma ciência é subestimar a sua arte e história nas sete artes liberais tradicionais.^[183] Uma forma desta diferença de ponto de vista se manifestar é no debate filosófico sobre se os resultados matemáticos são criados (como na arte) ou descobertos (como na ciência).^[130]

Impacto cultural

Expressão artística

Fractal com simetria de escala e simetria central

Notas musicais que soam bem juntas para um ouvido ocidental são sons cujas frequências fundamentais de vibração estão em proporções simples. Por exemplo, uma oitava duplica a frequência e uma quinta justa multiplica-a por ${\frac {3}{2}}$ .^[184]^[185]

Os humanos, assim como alguns outros animais, consideram os padrões simétricos mais bonitos.^[186] Matematicamente, as simetrias de um objeto formam um grupo conhecido como grupo de simetria.^[187]

Por exemplo, o grupo subjacente à simetria do espelho é o grupo cíclico de dois elementos, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . Um teste de Rorschach é uma figura invariante por esta simetria,^[188] assim como os corpos de borboletas e animais em geral (pelo menos na superfície).^[189] As ondas na superfície do mar possuem simetria de translação: mover o ponto de vista pela distância entre as cristas das ondas não altera a visão do mar. Fractais possuem autossimilaridade.^[190]^[191]

Popularização

A matemática popular é o ato de apresentar a matemática sem termos técnicos.^[192] Apresentar matemática pode ser difícil, uma vez que o público em geral sofre de ansiedade matemática e os objetos matemáticos são altamente abstratos.^[193] No entanto, a escrita matemática popular pode superar isto usando aplicativos ou referências culturais.^[194]

Prêmios

A frente da Medalha Fields com uma ilustração do polímata grego Arquimedes

O prêmio de maior prestígio em matemática é a Medalha Fields,^[195]^[196] criada em 1936 e concedida a cada quatro anos (exceto por volta da Segunda Guerra Mundial) a até quatro indivíduos.^[197]^[198] É considerado o equivalente matemático do Prêmio Nobel.^[198]

Outros prêmios de matemática de prestígio incluem:^[199]

O Prêmio Abel, instituído em 2002^[200] e concedido pela primeira vez em 2003;^[201]
A Medalha Chern pelo conjunto da obra, introduzida em 2009^[202] e concedida pela primeira vez em 2010;^[203]
O Prêmio AMS Leroy P. Steele, concedido desde 1970;^[204]
O Prêmio Wolf de Matemática, também pelo conjunto da obra,^[205] instituído em 1978.^[206]

Uma famosa lista de 23 problemas em aberto, chamada "problemas de Hilbert", foi compilada em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert.^[207] Esta lista alcançou grande celebridade entre os matemáticos^[208] e, desde 2022, pelo menos treze dos problemas (dependendo de como alguns são interpretados) foram resolvidos.^[207]

Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulada "Problemas do Prêmio Millennium", foi publicada no ano 2000. Apenas uma delas, a Hipótese de Riemann, duplica um dos problemas de Hilbert. Uma solução para qualquer um desres problemas acarreta uma recompensa de 1 milhão de dólares.^[209] Até hoje, apenas um destes problemas, a Conjectura de Poincaré, foi resolvido.^[210]

Ver também

Lista de constantes matemáticas

Notas e referências

Notas

↑ Aqui, álgebra é tomada em seu sentido moderno, que é, grosso modo, a arte de manipular fórmulas.
↑ Este significado pode ser encontrado na obra República de Platão, Livro 6, Seção 510c.^[11] No entanto, Platão não usou uma palavra “matemática”; Aristóteles fez isto, comentando sobre isso.^[12]^[13]
↑ Isso inclui seções cônicass, que são interseções de cilindros circulares e planos.
↑ No entanto, alguns métodos avançados de análise são por vezes utilizados; por exemplo, métodos de análise complexa aplicados à função geradora.
↑ Como outras ciências matemáticas, como física e ciência da computação, a estatística é uma disciplina autônoma e não um ramo da matemática aplicada. Assim como os físicos pesquisadores e os cientistas da computação, os estatísticos pesquisadores são cientistas matemáticos. Muitos estatísticos são formados em matemática e alguns estatísticos também são matemáticos.
↑ Ada Lovelace é conhecida por ter escrito, na década de 1840, o primeiro programa de computador em colaboração com Charles Babbage
↑ Isto não significa tornar explícitas todas as regras de inferência utilizadas. Pelo contrário, isto geralmente é impossível, sem computadores e assistentes de prova. Mesmo com esta tecnologia moderna, podem ser necessários anos de trabalho humano para redigir uma prova matemática completamente detalhada.
↑ Isto não significa que a evidência empírica e a intuição não sejam necessárias para escolher os teoremas a provar e para os provar.
↑ Para considerar como confiável um grande cálculo que ocorre em uma prova, geralmente são necessários dois cálculos usando um software independente
↑ O livro que contém a prova completa tem mais de mil páginas.

Referências

↑ ^a ^b «Mathematics (noun)». Oxford English Dictionary. Oxford University Press. Consultado em 17 de janeiro de 2024
↑ Kneebone, G. T. (1963). «Traditional Logic». Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. [S.l.]: D. Van Nostard Company. LCCN 62019535. MR 0150021. OCLC 792731
↑ LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Reed, Iris B.; Carpenter, Laurel R.; Harris, Cynthia R.; Biggers (2008). «Models and Functions». Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change 4th ed. [S.l.]: Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-78983-2. LCCN 2006935429. OCLC 125397884
↑ Hipólito, Inês Viegas (15 de agosto de 2015). «Abstract Cognition and the Nature of Mathematical Proof». In: Kanzian; Mitterer; Neges. Realismus – Relativismus – Konstruktivismus: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums (PDF) (em alemão e inglês). 23. Kirchberg am Wechsel, Austria: Austrian Ludwig Wittgenstein Society. pp. 132–134. ISSN 1022-3398. OCLC 236026294. Consultado em 17 de janeiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 7 de novembro de 2022 (at ResearchGate Arquivado em 2022-11-05 no Wayback Machine)
↑ Peterson 1988, p. 12.
↑ ^a ^b Wigner, Eugene (1960). «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences». Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Cópia arquivada em 28 de fevereiro de 2011
↑ Wise, David. «Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion». Universidade da Geórgia. Consultado em 18 de janeiro de 2024. Arquivado do original em 1 de junho de 2019
↑ Alexander, Amir (setembro de 2011). «The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?». Isis. 102 (3): 475–480. ISSN 0021-1753. MR 2884913. PMID 22073771. doi:10.1086/661620
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Kleiner, Israel (dezembro de 1991). «Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective». Taylor & Francis, Ltd. Mathematics Magazine. 64 (5): 291–314. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690647. LCCN 47003192. MR 1141557. OCLC 1756877. doi:10.1080/0025570X.1991.11977625
↑ ^a ^b Harper, Douglas (28 de março de 2019). Mathematic (n.). Consultado em 25 de janeiro de 2024. Arquivado do original em 7 de março de 2013
↑ Plato. Republic, Book 6, Section 510c. [S.l.: s.n.] Consultado em 2 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada em 24 de fevereiro de 2021
↑ Liddell, Henry George; Scott, Robert (1940). A Greek–English Lexicon. Clarendon Press |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Harper, Douglas (20 de abril de 2022). «Mathematics (n.)». Online Etymology Dictionary. Consultado em 2 de fevereiro de 2024
↑ Harper, Douglas (22 de dezembro de 2018). Mathematical (adj.). Consultado em 25 de janeiro de 2024. Arquivado do original em 26 de novembro de 2022
↑ Perisho, Margaret W. (1965). «The Etymology of Mathematical Terms». Pi Mu Epsilon Journal. 4 (2): 62–66. ISSN 0031-952X. JSTOR 24338341. LCCN 58015848. OCLC 1762376
↑ Boas, Ralph P. (1995). «What Augustine Didn't Say About Mathematicians». In: Alexanderson; Mugler, Dale H. Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories. [S.l.]: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN 94078313. OCLC 633018890
↑ Bell, E. T. (1945). «General Prospectus». The Development of Mathematics 2nd ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 978-0-486-27239-9. LCCN 45010599. OCLC 523284
↑ Tiwari, Sarju (1992). «A Mirror of Civilization». Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science 1st ed. Nova Deli: Mittal Publications. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN 92909575. OCLC 28115124
↑ Restivo, Sal (1992). «Mathematics from the Ground Up». In: Bunge, Mario. Mathematics in Society and History. Col: Episteme. 20. [S.l.]: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1765-3. LCCN 25709270. OCLC 92013695
↑ Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics. Col: History of Physics. [S.l.]: Springer International Publishing. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN 2730-7549. OCLC 1332780664. doi:10.1007/978-3-031-12322-1
↑ Biggs, N. L. (Maio de 1979). «The roots of combinatorics». Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. ISSN 0315-0860. LCCN 75642280. OCLC 2240703. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0
↑ ^a ^b Warner, Evan. «Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics» (PDF). Universidade Columbia. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Arquivado do original (PDF) em 22 de março de 2023
↑ Dunne, Edward; Hulek, Klaus (Março de 2020). «Mathematics Subject Classification 2020» (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 67 (3): 410–411. ISSN 0002-9920. LCCN sf77000404. OCLC 1480366. doi:10.1090/noti2052. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 3 de agosto de 2021
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h «MSC2020-Mathematics Subject Classification System» (PDF). zbMath. Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Arquivado do original (PDF) em 2 de janeiro de 2024
↑ LeVeque, William J. (1977). «Introduction». Fundamentals of Number Theory. [S.l.]: Addison-Wesley Publishing Company. pp. 1–30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN 76055645. OCLC 3519779
↑ Goldman, Jay R. (1998). «The Founding Fathers». The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory. Wellesley, MA: A K Peters. pp. 2–3. ISBN 1-56881-006-7. LCCN 94020017. OCLC 30437959. doi:10.1201/9781439864623
↑ Weil, André (1983). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre. [S.l.]: Birkhäuser Boston. pp. 2–3. ISBN 0-8176-3141-0. LCCN 83011857. OCLC 9576587. doi:10.1007/978-0-8176-4571-7
↑ Kleiner, Israel (março de 2000). «From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem». Elemente der Mathematik. 55 (1): 19–37. ISSN 0013-6018. LCCN 66083524. OCLC 1567783. doi:10.1007/PL00000079
↑ Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture. Col: Series in Pure Mathematics. 4 2nd ed. [S.l.]: World Scientific. pp. 1–18. ISBN 981-238-159-7. LCCN 2003268597. OCLC 51533750. doi:10.1142/5096
↑ ^a ^b ^c ^d Straume, Eldar (4 de setembro de 2014). «A Survey of the Development of Geometry up to 1870». arXiv:1409.1140 [math.HO]
↑ Hilbert, David (1902). The Foundations of Geometry. [S.l.]: Open Court Publishing Company. LCCN 02019303. OCLC 996838. doi:10.1126/science.16.399.307. Consultado em 6 de fevereiro de 2024
↑ Hartshorne, Robin (2000). «Euclid's Geometry». Geometry: Euclid and Beyond. [S.l.]: Springer New York. pp. 9–13. ISBN 0-387-98650-2. LCCN 99044789. OCLC 42290188. Consultado em 7 de fevereiro de 2024
↑ Boyer, Carl B. (2004). «Fermat and Descartes». History of Analytic Geometry. [S.l.]: Dover Publications. pp. 74–102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN 2004056235. OCLC 56317813
↑ Stump, David J. (1997). «Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900» (PDF). Perspectives on Science. 5 (3): 383–417. ISSN 1063-6145. LCCN 94657506. OCLC 26085129. doi:10.1162/posc_a_00532. Consultado em 8 de fevereiro de 2024
↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Fevereiro de 1996). «Non-Euclidean geometry». Escócia. Universidade de St. Andrews. Consultado em 8 de fevereiro de 2024 ^{[ligação inativa]}
↑ Joyner, David (2008). «The (legal) Rubik's Cube group». Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys 2nd ed. [S.l.]: Johns Hopkins University. pp. 219–232. ISBN 978-0-8018-9012-3. LCCN 2008011322. OCLC 213765703
↑ Christianidis, Jean; Oaks, Jeffrey (Maio de 2013). «Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria». Historia Mathematica. 40 (2): 127–163. ISSN 0315-0860. LCCN 75642280. OCLC 2240703. doi:10.1016/j.hm.2012.09.001
↑ Kleiner 2007, "History of Classical Algebra" pp. 3–5.
↑ Lim, Lisa (21 de dezembro de 2018). «Where the x we use in algebra came from, and the X in Xmas». South China Morning Post. Consultado em 8 de fevereiro de 2024. Arquivado do original em 22 de dezembro de 2018
↑ Oaks, Jeffery A. (2018). «François Viète's revolution in algebra» (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 72 (3): 245–302. ISSN 0003-9519. LCCN 63024699. OCLC 1482042. doi:10.1007/s00407-018-0208-0. Consultado em 8 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 8 de novembro de 2022
↑ Kleiner 2007, "History of Linear Algebra" pp. 79–101.
↑ Corry, Leo (2004). «Emmy Noether: Ideals and Structures». Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures 2ª revisada ed. Alemanha: Birkhäuser Basel. pp. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN 2004556211. OCLC 51234417. Consultado em 8 de fevereiro de 2024
↑ Riche, Jacques (2007). «From Universal Algebra to Universal Logic». In: Beziau; Costa-Leite. Perspectives on Universal Logic. Milano, Italy: Polimetrica International Scientific Publisher. pp. 3–39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC 647049731. Consultado em 8 de fevereiro de 2024
↑ Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory. Col: Science Networks - Historical Studies. 32. Alemanha: Springer Science & Business Media. pp. xxi–xxv, 1–91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN 2007920230. OCLC 85242858. Consultado em 8 de fevereiro de 2024
↑ Guicciardini, Niccolo (2017). «The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730». In: Schliesser; Smeenk. The Oxford Handbook of Newton (PDF). Col: Oxford Handbooks. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC 975829354. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. Consultado em 9 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 9 de novembro de 2022
↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Setembro de 1998). MacTutor, ed. «Leonhard Euler». Escócia. Universidade de St. Andrews. Consultado em 9 de fevereiro de 2024. Arquivado do original em 9 de novembro de 2022
↑ Franklin, James (Julho de 2017). «Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics». Journal of Humanistic Mathematics. 7 (2): 355–378. ISSN 2159-8118. LCCN 2011202231. OCLC 700943261. doi:10.5642/jhummath.201702.18. Consultado em 9 de fevereiro de 2024
↑ Maurer, Stephen B. (1997). «What is Discrete Mathematics? The Many Answers». In: Rosenstein; Franzblau; Roberts. Discrete Mathematics in the Schools. Col: DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 36. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. 121–124. ISBN 0-8218-0448-0. ISSN 1052-1798. LCCN 97023277. OCLC 37141146. doi:10.1090/dimacs/036/13 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Hales, Thomas C. (2014). «Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic». In: Downey, Rod. Turing's Legacy. Col: Lecture Notes in Logic. 42. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 260–261. ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN 2014000240. OCLC 867717052. doi:10.1017/CBO9781107338579.001 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Sipser, Michael (Julho de 1992). The History and Status of the P versus NP Question. STOC '92: Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Theory of Computing. pp. 603–618. doi:10.1145/129712.129771
↑ Ewald, William (17 de novembro de 2018). «The Emergence of First-Order Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 2 de novembro de 2022. Arquivado do original em 12 de maio de 2021
↑ Ferreirós, José (18 de junho de 2020). «The Early Development of Set Theory». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 2 de novembro de 2022. Arquivado do original em 12 de maio de 2021
↑ Ferreirós, José (2001). «The Road to Modern Logic—An Interpretation» (PDF). Bulletin of Symbolic Logic. 7 (4): 441–484. JSTOR 2687794. doi:10.2307/2687794. Consultado em 11 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 2 de fevereiro de 2023
↑ Wolchover, Natalie (3 de dezembro de 2013). «Dispute over Infinity Divides Mathematicians». Scientific American. Consultado em 1 de novembro de 2022. Arquivado do original em 2 de novembro de 2022
↑ Zhuang, C. «Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument». PhilArchive. Consultado em 18 de novembro de 2022
↑ Avigad, Jeremy; Reck, Erich H. (11 de dezembro de 2001). «"Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory» (PDF). Carnegie Mellon Technical Report CMU-PHIL-120. Consultado em 12 de novembro de 2022. Arquivado do original (PDF) em 9 de outubro de 2022
↑ Hamilton, Alan G. (1982). Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 3–4. ISBN 978-0-521-28761-6. Consultado em 12 de novembro de 2022
↑ Snapper, Ernst (Setembro de 1979). «The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism». Mathematics Magazine. 52 (4): 207–216. JSTOR 2689412. doi:10.2307/2689412
↑ ^a ^b Raatikainen, Panu (Outubro de 2005). «On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems». Revue Internationale de Philosophie. 59 (4): 513–534. JSTOR 23955909. doi:10.3917/rip.234.0513. Consultado em 12 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 12 de novembro de 2022
↑ Moschovakis, Joan (4 de setembro de 2018). «Intuitionistic Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 12 de novembro de 2022. Arquivado do original em 16 de dezembro de 2022
↑ McCarty, Charles (2006). «At the Heart of Analysis: Intuitionism and Philosophy». Philosophia Scientiæ, Cahier spécial 6: 81–94. doi:10.4000/philosophiascientiae.411
↑ Halpern, Joseph; Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (2001). «On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science» (PDF). Consultado em 15 de janeiro de 2021. Arquivado do original (PDF) em 3 de março de 2021
↑ Ver White, L. (1947). «The locus of mathematical reality: An anthropological footnote». Philosophy of Science. 14 (4): 289–303. doi:10.1086/286957. 189303; also in Newman, J. R. (1956). The World of Mathematics. 4. New York: Simon and Schuster. pp. 2348–2364
↑ Rouaud, Mathieu (Abril de 2017). Probability, Statistics and Estimation (PDF). [S.l.: s.n.] Consultado em 13 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 9 de outubro de 2022
↑ Rao, C. Radhakrishna (1997). Statistics and Truth: Putting Chance to Work 2nd ed. [S.l.]: World Scientific. pp. 3–17, 63–70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN 97010349. MR 1474730. OCLC 36597731
↑ Rao, C. Radhakrishna (1981). «Foreword». In: Arthanari; Dodge. Mathematical programming in statistics. Col: Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. pp. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN 80021637. MR 607328. OCLC 6707805
↑ Whittle 1994, pp. 10–11, 14–18.
↑ Marchuk, Gurii Ivanovich (abril de 2020). «G I Marchuk's plenary: ICM 1970». School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Consultado em 13 de novembro de 2022. Arquivado do original em 13 de novembro de 2022
↑ Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (Setembro de 1991). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock, eds. Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science. Singapore Supercomputing Conference'90: Supercomputing For Strategic Advantage. World Scientific. p. 28. LCCN 91018998. Consultado em 13 de novembro de 2022
↑ Trefethen, Lloyd N. (2008). «Numerical Analysis». In: Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics (PDF). [S.l.]: Princeton University Press. pp. 604–615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN 2008020450. MR 2467561. OCLC 227205932. Consultado em 15 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 7 de março de 2023
↑ Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (Agosto de 1998). «Abstract representations of numbers in the animal and human brain». Trends in Neurosciences. 21 (8): 355–361. PMID 9720604. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6
↑ See, for example, Wilder, Raymond L. Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study. [S.l.: s.n.]
↑ Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. [S.l.]: Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342
↑ Kline 1990, Chapter 1.
↑ Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
↑ Heath, Thomas Little (1981). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24073-2
↑ Mueller, I. (1969). «Euclid's Elements and the Axiomatic Method». The British Journal for the Philosophy of Science. 20 (4): 289–309. ISSN 0007-0882. JSTOR 686258. doi:10.1093/bjps/20.4.289
↑ Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
↑ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.
↑ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.
↑ Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.
↑ Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
↑ Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
↑ Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History. [S.l.]: Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5. Consultado em 14 de novembro de 2022
↑ Singh, A. N. (Janeiro de 1936). «On the Use of Series in Hindu Mathematics». Osiris. 1: 606–628. JSTOR 301627. doi:10.1086/368443
↑ Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). «Use of series in India». Studies in Indian Mathematics and Astronomy. Col: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Singapore: Springer. pp. 438–461. ISBN 978-981-13-7325-1. doi:10.1007/978-981-13-7326-8_20
↑ Saliba, George (1994). A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam. [S.l.]: New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC 28723059
↑ Faruqi, Yasmeen M. (2006). «Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise». Shannon Research Press. International Education Journal. 7 (4): 391–399. Consultado em 14 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 14 de novembro de 2022
↑ Lorch, Richard (Junho de 2001). «Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages» (PDF). Cambridge University Press. Science in Context. 14 (1–2): 313–331. doi:10.1017/S0269889701000114. Consultado em 5 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 17 de dezembro de 2022
↑ Finkel, B.F. (1897). «Biography- Leonard Euler». The American Mathematical Monthly. 4 (12). 300 páginas
↑ Archibald, Raymond Clare (Janeiro de 1949). «History of Mathematics After the Sixteenth Century». The American Mathematical Monthly. Part 2: Outline of the History of Mathematics. 56 (1): 35–56. JSTOR 2304570. doi:10.2307/2304570
↑ Sevryuk 2006, pp. 101–109.
↑ Wolfram, Stephan (outubro de 2000). Mathematical Notation: Past and Future. MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada em 16 de novembro de 2022
↑ Douglas, Heather; Headley, Marcia Gail; Hadden, Stephanie; LeFevre, Jo-Anne (3 de dezembro de 2020). «Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers». Journal of Numerical Cognition. 6 (3): 322–354. doi:10.5964/jnc.v6i3.293
↑ Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (outubro de 2017). «AMS Style Guide» (PDF). American Mathematical Society. p. 75. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Arquivado do original (PDF) em 8 de dezembro de 2022
↑ Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). «Constituent Structure in Mathematical Expressions» (PDF). Universidade da Califórnia em Merced. Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society. 22. OCLC 68713073. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 16 de novembro de 2022
↑ Rossi, Richard J. (2006). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof. Col: Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. [S.l.]: John Wiley & Sons. pp. 1–14, 47–48. ISBN 978-0-470-04295-3. LCCN 2006041609. OCLC 64085024
↑ «Earliest Uses of Some Words of Mathematics». Escócia. Universidade de St. Andrews. Consultado em 3 de fevereiro de 2024 ^{[ligação inativa]}
↑ Silver, Daniel S. (dezembro de 2017). «The New Language of Mathematics». Sigma Xi. The American Scientist. 105 (6): 364–371. ISSN 0003-0996. LCCN 43020253. OCLC 1480717. doi:10.1511/2017.105.6.364
↑ Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (22 de dezembro de 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation. Col: Mathematical Modeling. 1. [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8331-1. Consultado em 16 de novembro de 2022
↑ Hennig, Christian (2010). «Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective». Foundations of Science. 15: 29–48. doi:10.1007/s10699-009-9167-x. Consultado em 17 de novembro de 2022
↑ Frigg, Roman; Hartmann, Stephan (4 de fevereiro de 2020). «Models in Science». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 17 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 17 de novembro de 2022
↑ Stewart, Ian (2018). «Mathematics, Maps, and Models». In: Wuppuluri; Doria. The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality. Col: The Frontiers Collection. [S.l.]: Springer. pp. 345–356. ISBN 978-3-319-72478-2. doi:10.1007/978-3-319-72478-2_18 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ «The science checklist applied: Mathematics». Understanding Science. Universidade da Califórnia em Berkeley. Consultado em 27 de outubro de 2019. Arquivado do original em 27 de outubro de 2019
↑ Mackay, A. L. (1991). Dictionary of Scientific Quotations. Londres: Taylor & Francis. ISBN 978-0-7503-0106-0. Consultado em 19 de março de 2023
↑ Bishop, Alan (1991). «Environmental activities and mathematical culture». Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. pp. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-98269-4
↑ Nickles, Thomas (2013). «The Problem of Demarcation». Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem. Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-05182-6
↑ Pigliucci, Massimo (2014). «Are There 'Other' Ways of Knowing?». Philosophy Now. Consultado em 6 de abril de 2020. Arquivado do original em 13 de maio de 2020
↑ ^a ^b Ferreirós, J. (2007). «Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss». In: Catherine Goldstein. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 235–268. ISBN 978-3-540-34720-0
↑ Kuhn, Thomas S. (1976). «Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science». The MIT Press. The Journal of Interdisciplinary History. 7 (1): 1–31. JSTOR 202372. doi:10.2307/202372
↑ Asper, Markus (2009). «The two cultures of mathematics in ancient Greece». In: Robson; Stedall. The Oxford Handbook of the History of Mathematics. Col: Oxford Handbooks in Mathematics. [S.l.]: OUP Oxford. pp. 107–132. ISBN 978-0-19-921312-2 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). «Integer Factorization Problem». In: Ahmad; Doja, M. N.; Udzir, Nur Izura; Singh, Manu Pratap. Emerging Security Algorithms and Techniques. [S.l.]: CRC Press. pp. 59–60. ISBN 978-0-8153-6145-9. LCCN 2019010556. OCLC 1082226900
↑ Maddy, P. (2008). «How applied mathematics became pure» (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1 (1): 16–41. doi:10.1017/S1755020308080027. Consultado em 19 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 12 de agosto de 2017
↑ Silver, Daniel S. (2017). «In Defense of Pure Mathematics». In: Pitici. The Best Writing on Mathematics, 2016. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 17–26. ISBN 978-0-691-17529-4 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Parshall, Karen Hunger (2022). «The American Mathematical Society and Applied Mathematics from the 1920s to the 1950s: A Revisionist Account». Bulletin of the American Mathematical Society. 59 (3): 405–427. doi:10.1090/bull/1754. Consultado em 20 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 20 de novembro de 2022
↑ Stolz, Michael (2002). «The History Of Applied Mathematics And The History Of Society». Synthese. 133: 43–57. doi:10.1023/A:1020823608217. Consultado em 20 de novembro de 2022
↑ Lin, C. C . (Março de 1976). «On the role of applied mathematics». Advances in Mathematics. 19 (3): 267–288. doi:10.1016/0001-8708(76)90024-4
↑ Peressini, Anthony (Setembro de 1999). Applying Pure Mathematics (PDF). Philosophy of Science. Proceedings of the 1998 Biennial Meetings of the Philosophy of Science Association. Part I: Contributed Papers. 66. pp. S1–S13. JSTOR 188757. Consultado em 30 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 2 de janeiro de 2024
↑ Lützen, J. (2011). Mathematics meets physics: A contribution to their interaction in the 19th and the first half of the 20th century. Verlag Harri Deutsch. Consultado em 19 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 23 de março de 2023
↑ Marker, Dave (Julho de 1996). «Model theory and exponentiation». Notices of the American Mathematical Society. 43 (7): 753–759. Consultado em 19 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 13 de março de 2014
↑ Chen, Changbo; Maza, Marc Moreno (agosto de 2014). Cylindrical Algebraic Decomposition in the RegularChains Library. International Congress on Mathematical Software 2014. Lecture Notes in Computer Science. 8592. Springer. doi:10.1007/978-3-662-44199-2_65. Consultado em 19 de novembro de 2022
↑ Pérez-Escobar, José Antonio; Sarikaya, Deniz (2021). «Purifying applied mathematics and applying pure mathematics: how a late Wittgensteinian perspective sheds light onto the dichotomy». European Journal for Philosophy of Science. 12 (1): 1–22. doi:10.1007/s13194-021-00435-9
↑ Takase, M. (2014). «Pure Mathematics and Applied Mathematics are Inseparably Intertwined: Observation of the Early Analysis of the Infinity». A Mathematical Approach to Research Problems of Science and Technology. Col: Mathematics for Industry. 5. Tokyo: Springer. pp. 393–399. ISBN 978-4-431-55059-4. doi:10.1007/978-4-431-55060-0_29 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Sarukkai, Sundar (10 de fevereiro de 2005). «Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics». Current Science. 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208
↑ Wagstaff, Jr., Samuel S. (2021). «History of Integer Factoring». In: Bos; Stam. Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL (PDF). Col: London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 41–77. Consultado em 20 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 20 de novembro de 2022
↑ «Curves: Ellipse». Universidade de St Andrews. Consultado em 20 de novembro de 2022. Arquivado do original em 14 de outubro de 2022
↑ Mukunth, Vasudevan (10 de setembro de 2015). «Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry». The Wire. Consultado em 20 de novembro de 2022. Arquivado do original em 20 de novembro de 2022
↑ Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (Novembro de 1912). «The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics». Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 48 (11): 389–507. JSTOR 20022840. doi:10.2307/20022840
↑ ^a ^b ^c Borel, Armand (1983). «Mathematics: Art and Science». Springer. The Mathematical Intelligencer. 5 (4): 9–17. ISSN 1027-488X. doi:10.4171/news/103/8
↑ Hanson, Norwood Russell (novembro de 1961). «Discovering the Positron (I)». The University of Chicago Press. The British Journal for the Philosophy of Science. 12 (47): 194–214. JSTOR 685207. doi:10.1093/bjps/xiii.49.54
↑ Ginammi, Michele (Fevereiro de 2016). «Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω^– particle». Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 53: 20–27. Bibcode:2016SHPMP..53...20G. doi:10.1016/j.shpsb.2015.12.001
↑ Wagh, Sanjay Moreshwar; Deshpande, Dilip Abasaheb (27 de setembro de 2012). Essentials of Physics (em inglês). [S.l.]: PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 978-81-203-4642-0. Consultado em 3 de janeiro de 2023
↑ Atiyah, Michael (1990). On the Work of Edward Witten (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians. p. 31. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 28 de setembro de 2013
↑ Borwein, J.; Borwein, P.; Girgensohn, R.; Parnes, S. (1996). «Conclusion». oldweb.cecm.sfu.ca. Arquivado do original em 21 de janeiro de 2008
↑ Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; Mclaughlin, Sean (2017). «A Formal Proof of the Kepler Conjecture». Forum of Mathematics, Pi (em inglês). 5: e2. ISSN 2050-5086. doi:10.1017/fmp.2017.1. Consultado em 25 de fevereiro de 2023. Cópia arquivada em 4 de dezembro de 2020
↑ «P versus NP problem | mathematics». Britannica (em inglês). Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 6 de dezembro de 2022
↑ ^a ^b ^c Millstein, Roberta (8 de setembro de 2016). «Probability in Biology: The Case of Fitness». In: Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher. The Oxford Handbook of Probability and Philosophy (PDF). [S.l.: s.n.] pp. 601–622. doi:10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 7 de março de 2023
↑ See for example Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés» 15-17 janvier 1996, CNRS
↑ Bouleau 1999, pp. 282–283.
↑ Bouleau 1999, p. 285.
↑ «1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model». Mathematics LibreTexts (em inglês). 5 de janeiro de 2022. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de dezembro de 2022
↑ Bouleau 1999, p. 287.
↑ Edling, Christofer R. (2002). «Mathematics in Sociology». Annual Review of Sociology (em inglês). 28 (1): 197–220. ISSN 0360-0572. doi:10.1146/annurev.soc.28.110601.140942
↑ Batchelder, William H. (1 de janeiro de 2015), Wright, James D., ed., Mathematical Psychology: History, ISBN 978-0-08-097087-5, Oxford: Elsevier, pp. 808–815, consultado em 30 de setembro de 2023
↑ ^a ^b Zak, Paul J. (2010). Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3736-6. Consultado em 3 de janeiro de 2023
↑ ^a ^b ^c Kim, Oliver W. (29 de maio de 2014). «Meet Homo Economicus». The Harvard Crimson. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de dezembro de 2022
↑ «Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com». www.encyclopedia.com. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 1 de julho de 2016
↑ «Mathématique de l'histoire-géometrie et cinématique. Lois de Brück. Chronologie géodésique de la Bible., by Charles LAGRANGE et al. | The Online Books Page». onlinebooks.library.upenn.edu
↑ «Cliodynamics: a science for predicting the future». ZDNET (em inglês). Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de dezembro de 2022
↑ Sokal, Alan; Jean Bricmont (1998). Fashionable Nonsense. New York: Picador. ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC 39605994
↑ Beaujouan, Guy (1994). Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Age: mélanges d'histoire des sciences offerts à Guy Beaujouan (em francês). [S.l.]: Librairie Droz. ISBN 978-2-600-00040-6. Consultado em 3 de janeiro de 2023
↑ «L'astrologie à l'épreuve : ça ne marche pas, ça n'a jamais marché ! / Afis Science – Association française pour l'information scientifique». Afis Science – Association française pour l’information scientifique (em francês). Consultado em 28 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de janeiro de 2023
↑ Dorato, Mauro (2005). «Why are laws mathematical?». The Software of the Universe, An Introduction to the History and Philosophy of Laws of Nature (PDF). [S.l.]: Ashgate. pp. 31–66. ISBN 978-0-7546-3994-7. Consultado em 5 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 17 de agosto de 2023
↑ ^a ^b ^c Mura, Roberta (Dezembro de 1993). «Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences». Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375–85. JSTOR 3482762. doi:10.1007/BF01273907
↑ ^a ^b Tobies, Renate; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-0348-0229-1. Consultado em 20 de junho de 2015
↑ Ziegler, Günter M.; Loos, Andreas (2 de novembro de 2017). "What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it. Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education. ICME-13 Monographs. Springer. pp. 63–77. ISBN 978-3-319-62596-6. doi:10.1007/978-3-319-62597-3_5
↑ Franklin, James (2009). Philosophy of Mathematics. [S.l.]: Elsevier. pp. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. Consultado em 20 de junho de 2015
↑ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. [S.l.]: American Mathematical Society (1991 reprint). pp. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2. Consultado em 20 de junho de 2015
↑ Brown, Ronald; Porter, Timothy (Janeiro de 2000). «The Methodology of Mathematics». The Mathematical Gazette. 79 (485): 321–334. JSTOR 3618304. doi:10.2307/3618304. Consultado em 25 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 23 de março de 2023
↑ Strauss, Danie (2011). «Defining mathematics». Acta Academica. 43 (4): 1–28. Consultado em 25 de novembro de 2022
↑ Hamami, Yacin (Junho de 2022). «Mathematical Rigor and Proof» (PDF). The Review of Symbolic Logic. 15 (2): 409–449. doi:10.1017/S1755020319000443. Consultado em 21 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 5 de dezembro de 2022
↑ Peterson 1988, p. 4: "A few complain that the computer program can't be verified properly." (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem)
↑ Perminov, V. Ya. (1988). «On the Reliability of Mathematical Proofs». Revue Internationale de Philosophie. Philosophy of Mathematics. 42 (167 (4)): 500–508
↑ Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). «Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor». International Journal of Educational Research. 93: 91–100. doi:10.1016/j.ijer.2018.10.002
↑ Endsley, Kezia (2021). Mathematicians and Statisticians: A Practical Career Guide. Col: Practical Career Guides. [S.l.]: Rowman & Littlefield. pp. 1–3. ISBN 978-1-5381-4517-3. Consultado em 29 de novembro de 2022
↑ Robson, Eleanor (2009). «Mathematics education in an Old Babylonian scribal school». In: Robson; Stedall. The Oxford Handbook of the History of Mathematics. [S.l.]: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Bernard, Alain; Proust, Christine; Ross, Micah (2014). «Mathematics Education in Antiquity». In: Karp; Schubring. Handbook on the History of Mathematics Education. Nova York: Springer. pp. 27–53. ISBN 978-1-4614-9154-5. doi:10.1007/978-1-4614-9155-2_3
↑ Dudley, Underwood (Abril de 2002). «The World's First Mathematics Textbook». Taylor & Francis, Ltd. Math Horizons. 9 (4): 8–11. JSTOR 25678363. doi:10.1080/10724117.2002.11975154
↑ Subramarian, F. Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam (PDF). History and Pedagogy of Mathematics conference, July 16–20, 2012. Consultado em 29 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 28 de novembro de 2022
↑ Siu, Man Keung (2004). «Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination?». How Chinese Learn Mathematics (PDF). Col: Series on Mathematics Education. 1. [S.l.: s.n.] pp. 157–185. ISBN 978-981-256-014-8. doi:10.1142/9789812562241_0006. Consultado em 26 de novembro de 2022
↑ Jones, Phillip S. (1967). «The History of Mathematical Education». Taylor & Francis, Ltd. The American Mathematical Monthly. 74 (1): 38–55. JSTOR 2314867. doi:10.2307/2314867
↑ Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (Agosto de 2012). «Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies». ZDM Mathematics Education. 44 (4): 457–459. doi:10.1007/s11858-012-0445-7
↑ von Davier, Matthias; Foy, Pierre; Martin, Michael O.; Mullis, Ina V.S. (2020). «Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data: A Look at Country-Level Mode of Administration Effects». TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science (PDF) (em inglês). [S.l.]: TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education and Human Development and International Association for the Evaluation of Educational Achievement. ISBN 978-1-889938-54-7. Consultado em 29 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 29 de novembro de 2022
↑ Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (Março de 2012). «Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career» (PDF). The Career Development Quarterly. 60 (1): 2–15. doi:10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. Consultado em 29 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 22 de novembro de 2023
↑ Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). «Spotlight on math anxiety». Psychology Research and Behavior Management. 11: 311–322. PMC 6087017. PMID 30123014. doi:10.2147/PRBM.S141421
↑ Yaftian, Narges (2 de junho de 2015). «The Outlook of the Mathematicians' Creative Processes». Procedia - Social and Behavioral Sciences. 191: 2519–2525. doi:10.1016/j.sbspro.2015.04.617
↑ Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (10 de outubro de 2013). «The Frontage of Creativity and Mathematical Creativity». Procedia - Social and Behavioral Sciences. 90: 344–350. doi:10.1016/j.sbspro.2013.07.101
↑ van der Poorten, A. (1979). «A proof that Euler missed... Apéry's Proof of the irrationality of ζ(3)» (PDF). The Mathematical Intelligencer. 1 (4): 195–203. doi:10.1007/BF03028234. Consultado em 22 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 6 de setembro de 2015
↑ Petkovi, Miodrag (2 de setembro de 2009). Famous Puzzles of Great Mathematicians. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. xiii–xiv. ISBN 978-0-8218-4814-2. Consultado em 25 de novembro de 2022
↑ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. Consultado em 22 de novembro de 2022 See also A Mathematician's Apology.
↑ Alon, Noga; Goldston, Dan; Sárközy, András; Szabados, József; Tenenbaum, Gérald; Garcia, Stephan Ramon; Shoemaker, Amy L. (Março de 2015). Krishnaswami, Alladi; Krantz, Steven G., eds. «Reflections on Paul Erdős on His Birth Centenary, Part II». Notices of the American Mathematical Society. 62 (3): 226–247. doi:10.1090/noti1223
↑ See, for example Bertrand Russell's statement "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty ..." in his History of Western Philosophy. [S.l.: s.n.] 1919
↑ Cazden, Norman (outubro de 1959). «Musical intervals and simple number ratios». Journal of Research in Music Education. 7 (2): 197–220. JSTOR 3344215. doi:10.1177/002242945900700205
↑ Budden, F. J. (Outubro de 1967). «Modern mathematics and music». Cambridge University Press ({CUP}). The Mathematical Gazette. 51 (377): 204–215. JSTOR 3613237. doi:10.2307/3613237
↑ Enquist, Magnus; Arak, Anthony (Novembro de 1994). «Symmetry, beauty and evolution». Nature (em inglês). 372 (6502): 169–172. Bibcode:1994Natur.372..169E. ISSN 1476-4687. PMID 7969448. doi:10.1038/372169a0. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada em 28 de dezembro de 2022
↑ Hestenes, David (1999). «Symmetry Groups» (PDF). geocalc.clas.asu.edu. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original (PDF) em 1 de janeiro de 2023
↑ Bender, Sara (Setembro de 2020). «The Rorschach Test». In: Carducci; Nave, Christopher S.; Mio; Riggio, Ronald E. The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment. Wiley. pp. 367–376. ISBN 978-1-119-05751-2. doi:10.1002/9781119547167.ch131
↑ Weyl, Hermann (2015). Symmetry. Col: Princeton Science Library. 47. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7434-7
↑ Bradley, Larry (2010). «Fractals – Chaos & Fractals». www.stsci.edu. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 7 de março de 2023
↑ «Self-similarity». math.bu.edu. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 2 de março de 2023
↑ Kissane, Barry (Julho de 2009). Popular mathematics. 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers. Fremantle, Western Australia: Australian Association of Mathematics Teachers. pp. 125–126. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada em 7 de março de 2023
↑ Steen, L. A. (2012). Mathematics Today Twelve Informal Essays (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-9435-8. Consultado em 3 de janeiro de 2023
↑ Pitici, Mircea (2017). The Best Writing on Mathematics 2016 (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8560-2. Consultado em 3 de janeiro de 2023
↑ Monastyrsky 2001, p. 1: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."
↑ Riehm 2002, pp. 778–782.
↑ «Fields Medal | International Mathematical Union (IMU)». www.mathunion.org. Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Arquivado do original em 26 de dezembro de 2018
↑ ^a ^b «Fields Medal». Maths History (em inglês). Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Arquivado do original em 22 de março de 2019
↑ Universidade de St. Andrews (ed.). «Honours/Prizes Index». Consultado em 20 de fevereiro de 2023. Arquivado do original em 17 de dezembro de 2021
↑ «About the Abel Prize». The Abel Prize. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 14 de abril de 2022
↑ «Abel Prize | mathematics award». Encyclopedia Britannica (em inglês). Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 26 de janeiro de 2020
↑ «Chern Medal Award» (PDF). www.mathunion.org. 1 de junho de 2009. Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Arquivado do original (PDF) em 17 de junho de 2009
↑ «Chern Medal Award». International Mathematical Union (IMU). Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 25 de agosto de 2010
↑ «The Leroy P Steele Prize of the AMS». School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Consultado em 17 de novembro de 2022. Arquivado do original em 17 de novembro de 2022
↑ Chern, S. S.; Hirzebruch, F. (Setembro de 2000). Wolf Prize in Mathematics (em inglês). [S.l.: s.n.] ISBN 978-981-02-3945-9. doi:10.1142/4149. Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Cópia arquivada em 21 de fevereiro de 2022
↑ «The Wolf Prize». Wolf Foundation (em inglês). Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 12 de janeiro de 2020
↑ ^a ^b «Hilbert's Problems: 23 and Math». Simons Foundation (em inglês). 6 de maio de 2020. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 23 de janeiro de 2022
↑ Feferman, Solomon (1998). «Deciding the undecidable: Wrestling with Hilbert's problems». In the Light of Logic. Col: Logic and Computation in Philosophy series. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 3–27. ISBN 978-0-19-508030-8. Consultado em 29 de novembro de 2022
↑ «The Millennium Prize Problems». Clay Mathematics Institute. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 3 de julho de 2015
↑ «Millennium Problems». Clay Mathematics Institute. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 20 de dezembro de 2018

Bibliografia

Bouleau, Nicolas (1999). Philosophie des mathématiques et de la modélisation: Du chercheur à l'ingénieur. [S.l.]: L'Harmattan. ISBN 978-2-7384-8125-2
Boyer, Carl Benjamin (1991). A History of Mathematics 2ª ed. Nova York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8
Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics 6th ed. [S.l.]: Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4
Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel, ed. A History of Abstract Algebra. [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4684-4. LCCN 2007932362. OCLC 76935733. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. Consultado em 8 de fevereiro de 2024
Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Nova York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506135-2
Monastyrsky, Michael (2001). «Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal» (PDF). Canadian Mathematical Society. CMS – Notes – de la SMC. 33 (2–3). Consultado em 28 de julho de 2006. Arquivado do original (PDF) em 13 de agosto de 2006
Oakley, Barbara (2014). A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra). Nova York: Penguin Random House. ISBN 978-0-399-16524-5. A Mind for Numbers.
Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ed. «Linear associative algebra» Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. American Journal of Mathematics. 4 (1–4): 97–229. JSTOR 2369153. doi:10.2307/2369153. hdl:2027/hvd.32044030622997. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. Consultado em 17 de novembro de 2020 .
Peterson, Ivars (1988). The Mathematical Tourist: Snapshots of Modern Mathematics. [S.l.]: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1953-3. LCCN 87033078. OCLC 17202382
Popper, Karl R. (1995). «On knowledge». In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. New York: Routledge. Bibcode:1992sbwl.book.....P. ISBN 978-0-415-13548-1
Riehm, Carl (Agosto de 2002). «The Early History of the Fields Medal» (PDF). Notices of the AMS. 49 (7): 778–782. Consultado em 2 de outubro de 2006. Arquivado do original (PDF) em 26 de outubro de 2006
Sevryuk, Mikhail B. (Janeiro de 2006). «Book Reviews» (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Consultado em 24 de junho de 2006. Arquivado do original (PDF) em 23 de julho de 2006
Whittle, Peter (1994). «Almost home». In: Kelly, F.P. Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" ed. Chichester: John Wiley. pp. 1–28. ISBN 978-0-471-94829-2. Arquivado do original em 19 de dezembro de 2013

Ligações externas

Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Brasil

[8] Aqui, álgebra é tomada em seu sentido moderno, que é, grosso modo, a arte de manipular fórmulas.

[15] Este significado pode ser encontrado na obra República de Platão, Livro 6, Seção 510c.^[11] No entanto, Platão não usou uma palavra “matemática”; Aristóteles fez isto, comentando sobre isso.^[12]^[13]

[35] Isso inclui seções cônicass, que são interseções de cilindros circulares e planos.

[51] No entanto, alguns métodos avançados de análise são por vezes utilizados; por exemplo, métodos de análise complexa aplicados à função geradora.

[70] Como outras ciências matemáticas, como física e ciência da computação, a estatística é uma disciplina autônoma e não um ramo da matemática aplicada. Assim como os físicos pesquisadores e os cientistas da computação, os estatísticos pesquisadores são cientistas matemáticos. Muitos estatísticos são formados em matemática e alguns estatísticos também são matemáticos.

[140] Ada Lovelace é conhecida por ter escrito, na década de 1840, o primeiro programa de computador em colaboração com Charles Babbage

[168] Isto não significa tornar explícitas todas as regras de inferência utilizadas. Pelo contrário, isto geralmente é impossível, sem computadores e assistentes de prova. Mesmo com esta tecnologia moderna, podem ser necessários anos de trabalho humano para redigir uma prova matemática completamente detalhada.

[169] Isto não significa que a evidência empírica e a intuição não sejam necessárias para escolher os teoremas a provar e para os provar.

[171] Para considerar como confiável um grande cálculo que ocorre em uma prova, geralmente são necessários dois cálculos usando um software independente

[173] O livro que contém a prova completa tem mais de mil páginas.

[OED-1] «Mathematics (noun)». Oxford English Dictionary. Oxford University Press. Consultado em 17 de janeiro de 2024

[Kneebone-2] Kneebone, G. T. (1963). «Traditional Logic». Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. [S.l.]: D. Van Nostard Company. LCCN 62019535. MR 0150021. OCLC 792731

[LaTorre-3] LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Reed, Iris B.; Carpenter, Laurel R.; Harris, Cynthia R.; Biggers (2008). «Models and Functions». Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change 4th ed. [S.l.]: Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-78983-2. LCCN 2006935429. OCLC 125397884

[4] Hipólito, Inês Viegas (15 de agosto de 2015). «Abstract Cognition and the Nature of Mathematical Proof». In: Kanzian; Mitterer; Neges. Realismus – Relativismus – Konstruktivismus: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums (PDF) (em alemão e inglês). 23. Kirchberg am Wechsel, Austria: Austrian Ludwig Wittgenstein Society. pp. 132–134. ISSN 1022-3398. OCLC 236026294. Consultado em 17 de janeiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 7 de novembro de 2022 (at ResearchGate Arquivado em 2022-11-05 no Wayback Machine)

[FOOTNOTEPeterson198812-5] Peterson 1988, p. 12.

[wigner1960-6] Wigner, Eugene (1960). «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences». Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Cópia arquivada em 28 de fevereiro de 2011

[7] Wise, David. «Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion». Universidade da Geórgia. Consultado em 18 de janeiro de 2024. Arquivado do original em 1 de junho de 2019

[9] Alexander, Amir (setembro de 2011). «The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?». Isis. 102 (3): 475–480. ISSN 0021-1753. MR 2884913. PMID 22073771. doi:10.1086/661620

[Kleiner_1991-10] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Kleiner, Israel (dezembro de 1991). «Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective». Taylor & Francis, Ltd. Mathematics Magazine. 64 (5): 291–314. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690647. LCCN 47003192. MR 1141557. OCLC 1756877. doi:10.1080/0025570X.1991.11977625

[EOD_n-11] Harper, Douglas (28 de março de 2019). Mathematic (n.). Consultado em 25 de janeiro de 2024. Arquivado do original em 7 de março de 2013

[12] Plato. Republic, Book 6, Section 510c. [S.l.: s.n.] Consultado em 2 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada em 24 de fevereiro de 2021

[13] Liddell, Henry George; Scott, Robert (1940). A Greek–English Lexicon. Clarendon Press |acessodata= requer |url= (ajuda)

[14] Harper, Douglas (20 de abril de 2022). «Mathematics (n.)». Online Etymology Dictionary. Consultado em 2 de fevereiro de 2024

[16] Harper, Douglas (22 de dezembro de 2018). Mathematical (adj.). Consultado em 25 de janeiro de 2024. Arquivado do original em 26 de novembro de 2022

[17] Perisho, Margaret W. (1965). «The Etymology of Mathematical Terms». Pi Mu Epsilon Journal. 4 (2): 62–66. ISSN 0031-952X. JSTOR 24338341. LCCN 58015848. OCLC 1762376

[Boas-18] Boas, Ralph P. (1995). «What Augustine Didn't Say About Mathematicians». In: Alexanderson; Mugler, Dale H. Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories. [S.l.]: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN 94078313. OCLC 633018890

[19] Bell, E. T. (1945). «General Prospectus». The Development of Mathematics 2nd ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 978-0-486-27239-9. LCCN 45010599. OCLC 523284

[20] Tiwari, Sarju (1992). «A Mirror of Civilization». Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science 1st ed. Nova Deli: Mittal Publications. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN 92909575. OCLC 28115124

[21] Restivo, Sal (1992). «Mathematics from the Ground Up». In: Bunge, Mario. Mathematics in Society and History. Col: Episteme. 20. [S.l.]: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1765-3. LCCN 25709270. OCLC 92013695

[22] Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics. Col: History of Physics. [S.l.]: Springer International Publishing. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN 2730-7549. OCLC 1332780664. doi:10.1007/978-3-031-12322-1

[23] Biggs, N. L. (Maio de 1979). «The roots of combinatorics». Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. ISSN 0315-0860. LCCN 75642280. OCLC 2240703. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0

[Warner_2013-24] Warner, Evan. «Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics» (PDF). Universidade Columbia. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Arquivado do original (PDF) em 22 de março de 2023

[25] Dunne, Edward; Hulek, Klaus (Março de 2020). «Mathematics Subject Classification 2020» (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 67 (3): 410–411. ISSN 0002-9920. LCCN sf77000404. OCLC 1480366. doi:10.1090/noti2052. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 3 de agosto de 2021

[MSC-26] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h «MSC2020-Mathematics Subject Classification System» (PDF). zbMath. Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Arquivado do original (PDF) em 2 de janeiro de 2024

[27] LeVeque, William J. (1977). «Introduction». Fundamentals of Number Theory. [S.l.]: Addison-Wesley Publishing Company. pp. 1–30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN 76055645. OCLC 3519779

[28] Goldman, Jay R. (1998). «The Founding Fathers». The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory. Wellesley, MA: A K Peters. pp. 2–3. ISBN 1-56881-006-7. LCCN 94020017. OCLC 30437959. doi:10.1201/9781439864623

[29] Weil, André (1983). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre. [S.l.]: Birkhäuser Boston. pp. 2–3. ISBN 0-8176-3141-0. LCCN 83011857. OCLC 9576587. doi:10.1007/978-0-8176-4571-7

[30] Kleiner, Israel (março de 2000). «From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem». Elemente der Mathematik. 55 (1): 19–37. ISSN 0013-6018. LCCN 66083524. OCLC 1567783. doi:10.1007/PL00000079

[31] Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture. Col: Series in Pure Mathematics. 4 2nd ed. [S.l.]: World Scientific. pp. 1–18. ISBN 981-238-159-7. LCCN 2003268597. OCLC 51533750. doi:10.1142/5096

[Straume_2014-32] Straume, Eldar (4 de setembro de 2014). «A Survey of the Development of Geometry up to 1870». arXiv:1409.1140 [math.HO]

[33] Hilbert, David (1902). The Foundations of Geometry. [S.l.]: Open Court Publishing Company. LCCN 02019303. OCLC 996838. doi:10.1126/science.16.399.307. Consultado em 6 de fevereiro de 2024

[34] Hartshorne, Robin (2000). «Euclid's Geometry». Geometry: Euclid and Beyond. [S.l.]: Springer New York. pp. 9–13. ISBN 0-387-98650-2. LCCN 99044789. OCLC 42290188. Consultado em 7 de fevereiro de 2024

[36] Boyer, Carl B. (2004). «Fermat and Descartes». History of Analytic Geometry. [S.l.]: Dover Publications. pp. 74–102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN 2004056235. OCLC 56317813

[37] Stump, David J. (1997). «Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900» (PDF). Perspectives on Science. 5 (3): 383–417. ISSN 1063-6145. LCCN 94657506. OCLC 26085129. doi:10.1162/posc_a_00532. Consultado em 8 de fevereiro de 2024

[38] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Fevereiro de 1996). «Non-Euclidean geometry». Escócia. Universidade de St. Andrews. Consultado em 8 de fevereiro de 2024 ^{[ligação inativa]}

[39] Joyner, David (2008). «The (legal) Rubik's Cube group». Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys 2nd ed. [S.l.]: Johns Hopkins University. pp. 219–232. ISBN 978-0-8018-9012-3. LCCN 2008011322. OCLC 213765703

[40] Christianidis, Jean; Oaks, Jeffrey (Maio de 2013). «Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria». Historia Mathematica. 40 (2): 127–163. ISSN 0315-0860. LCCN 75642280. OCLC 2240703. doi:10.1016/j.hm.2012.09.001

[FOOTNOTEKleiner2007"History_of_Classical_Algebra"_pp._3–5-41] Kleiner 2007, "History of Classical Algebra" pp. 3–5.

[42] Lim, Lisa (21 de dezembro de 2018). «Where the x we use in algebra came from, and the X in Xmas». South China Morning Post. Consultado em 8 de fevereiro de 2024. Arquivado do original em 22 de dezembro de 2018

[43] Oaks, Jeffery A. (2018). «François Viète's revolution in algebra» (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 72 (3): 245–302. ISSN 0003-9519. LCCN 63024699. OCLC 1482042. doi:10.1007/s00407-018-0208-0. Consultado em 8 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 8 de novembro de 2022

[FOOTNOTEKleiner2007"History_of_Linear_Algebra"_pp._79–101-44] Kleiner 2007, "History of Linear Algebra" pp. 79–101.

[45] Corry, Leo (2004). «Emmy Noether: Ideals and Structures». Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures 2ª revisada ed. Alemanha: Birkhäuser Basel. pp. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN 2004556211. OCLC 51234417. Consultado em 8 de fevereiro de 2024

[46] Riche, Jacques (2007). «From Universal Algebra to Universal Logic». In: Beziau; Costa-Leite. Perspectives on Universal Logic. Milano, Italy: Polimetrica International Scientific Publisher. pp. 3–39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC 647049731. Consultado em 8 de fevereiro de 2024

[47] Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory. Col: Science Networks - Historical Studies. 32. Alemanha: Springer Science & Business Media. pp. xxi–xxv, 1–91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN 2007920230. OCLC 85242858. Consultado em 8 de fevereiro de 2024

[48] Guicciardini, Niccolo (2017). «The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730». In: Schliesser; Smeenk. The Oxford Handbook of Newton (PDF). Col: Oxford Handbooks. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC 975829354. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. Consultado em 9 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 9 de novembro de 2022

[49] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Setembro de 1998). MacTutor, ed. «Leonhard Euler». Escócia. Universidade de St. Andrews. Consultado em 9 de fevereiro de 2024. Arquivado do original em 9 de novembro de 2022

[50] Franklin, James (Julho de 2017). «Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics». Journal of Humanistic Mathematics. 7 (2): 355–378. ISSN 2159-8118. LCCN 2011202231. OCLC 700943261. doi:10.5642/jhummath.201702.18. Consultado em 9 de fevereiro de 2024

[52] Maurer, Stephen B. (1997). «What is Discrete Mathematics? The Many Answers». In: Rosenstein; Franzblau; Roberts. Discrete Mathematics in the Schools. Col: DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 36. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. 121–124. ISBN 0-8218-0448-0. ISSN 1052-1798. LCCN 97023277. OCLC 37141146. doi:10.1090/dimacs/036/13 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[53] Hales, Thomas C. (2014). «Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic». In: Downey, Rod. Turing's Legacy. Col: Lecture Notes in Logic. 42. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 260–261. ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN 2014000240. OCLC 867717052. doi:10.1017/CBO9781107338579.001 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[54] Sipser, Michael (Julho de 1992). The History and Status of the P versus NP Question. STOC '92: Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Theory of Computing. pp. 603–618. doi:10.1145/129712.129771

[Ewald_2018-55] Ewald, William (17 de novembro de 2018). «The Emergence of First-Order Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 2 de novembro de 2022. Arquivado do original em 12 de maio de 2021

[Ferreirós_2020-56] Ferreirós, José (18 de junho de 2020). «The Early Development of Set Theory». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 2 de novembro de 2022. Arquivado do original em 12 de maio de 2021

[57] Ferreirós, José (2001). «The Road to Modern Logic—An Interpretation» (PDF). Bulletin of Symbolic Logic. 7 (4): 441–484. JSTOR 2687794. doi:10.2307/2687794. Consultado em 11 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 2 de fevereiro de 2023

[58] Wolchover, Natalie (3 de dezembro de 2013). «Dispute over Infinity Divides Mathematicians». Scientific American. Consultado em 1 de novembro de 2022. Arquivado do original em 2 de novembro de 2022

[59] Zhuang, C. «Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument». PhilArchive. Consultado em 18 de novembro de 2022

[60] Avigad, Jeremy; Reck, Erich H. (11 de dezembro de 2001). «"Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory» (PDF). Carnegie Mellon Technical Report CMU-PHIL-120. Consultado em 12 de novembro de 2022. Arquivado do original (PDF) em 9 de outubro de 2022

[61] Hamilton, Alan G. (1982). Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 3–4. ISBN 978-0-521-28761-6. Consultado em 12 de novembro de 2022

[Snapper-62] Snapper, Ernst (Setembro de 1979). «The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism». Mathematics Magazine. 52 (4): 207–216. JSTOR 2689412. doi:10.2307/2689412

[Raatikainen_2005-63] Raatikainen, Panu (Outubro de 2005). «On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems». Revue Internationale de Philosophie. 59 (4): 513–534. JSTOR 23955909. doi:10.3917/rip.234.0513. Consultado em 12 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 12 de novembro de 2022

[64] Moschovakis, Joan (4 de setembro de 2018). «Intuitionistic Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 12 de novembro de 2022. Arquivado do original em 16 de dezembro de 2022

[65] McCarty, Charles (2006). «At the Heart of Analysis: Intuitionism and Philosophy». Philosophia Scientiæ, Cahier spécial 6: 81–94. doi:10.4000/philosophiascientiae.411

[66] Halpern, Joseph; Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (2001). «On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science» (PDF). Consultado em 15 de janeiro de 2021. Arquivado do original (PDF) em 3 de março de 2021

[67] Ver White, L. (1947). «The locus of mathematical reality: An anthropological footnote». Philosophy of Science. 14 (4): 289–303. doi:10.1086/286957. 189303; also in Newman, J. R. (1956). The World of Mathematics. 4. New York: Simon and Schuster. pp. 2348–2364

[68] Rouaud, Mathieu (Abril de 2017). Probability, Statistics and Estimation (PDF). [S.l.: s.n.] Consultado em 13 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 9 de outubro de 2022

[69] Rao, C. Radhakrishna (1997). Statistics and Truth: Putting Chance to Work 2nd ed. [S.l.]: World Scientific. pp. 3–17, 63–70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN 97010349. MR 1474730. OCLC 36597731

[RaoOpt-71] Rao, C. Radhakrishna (1981). «Foreword». In: Arthanari; Dodge. Mathematical programming in statistics. Col: Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. pp. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN 80021637. MR 607328. OCLC 6707805

[FOOTNOTEWhittle199410–11,_14–18-72] Whittle 1994, pp. 10–11, 14–18.

[73] Marchuk, Gurii Ivanovich (abril de 2020). «G I Marchuk's plenary: ICM 1970». School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Consultado em 13 de novembro de 2022. Arquivado do original em 13 de novembro de 2022

[74] Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (Setembro de 1991). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock, eds. Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science. Singapore Supercomputing Conference'90: Supercomputing For Strategic Advantage. World Scientific. p. 28. LCCN 91018998. Consultado em 13 de novembro de 2022

[75] Trefethen, Lloyd N. (2008). «Numerical Analysis». In: Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics (PDF). [S.l.]: Princeton University Press. pp. 604–615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN 2008020450. MR 2467561. OCLC 227205932. Consultado em 15 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 7 de março de 2023

[76] Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (Agosto de 1998). «Abstract representations of numbers in the animal and human brain». Trends in Neurosciences. 21 (8): 355–361. PMID 9720604. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6

[77] See, for example, Wilder, Raymond L. Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study. [S.l.: s.n.]

[78] Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. [S.l.]: Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342

[FOOTNOTEKline1990Chapter_1-79] Kline 1990, Chapter 1.

[FOOTNOTEBoyer1991"Mesopotamia"_pp._24–27-80] Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.

[81] Heath, Thomas Little (1981). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24073-2

[82] Mueller, I. (1969). «Euclid's Elements and the Axiomatic Method». The British Journal for the Philosophy of Science. 20 (4): 289–309. ISSN 0007-0882. JSTOR 686258. doi:10.1093/bjps/20.4.289

[FOOTNOTEBoyer1991"Euclid_of_Alexandria"_p._119-83] Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.

[FOOTNOTEBoyer1991"Archimedes_of_Syracuse"_p._120-84] Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.

[FOOTNOTEBoyer1991"Archimedes_of_Syracuse"_p._130-85] Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.

[FOOTNOTEBoyer1991"Apollonius_of_Perga"_p._145-86] Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.

[FOOTNOTEBoyer1991"Greek_Trigonometry_and_Mensuration"_p._162-87] Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.

[FOOTNOTEBoyer1991"Revival_and_Decline_of_Greek_Mathematics"_p._180-88] Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.

[89] Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History. [S.l.]: Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5. Consultado em 14 de novembro de 2022

[90] Singh, A. N. (Janeiro de 1936). «On the Use of Series in Hindu Mathematics». Osiris. 1: 606–628. JSTOR 301627. doi:10.1086/368443

[91] Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). «Use of series in India». Studies in Indian Mathematics and Astronomy. Col: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Singapore: Springer. pp. 438–461. ISBN 978-981-13-7325-1. doi:10.1007/978-981-13-7326-8_20

[92] Saliba, George (1994). A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam. [S.l.]: New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC 28723059

[93] Faruqi, Yasmeen M. (2006). «Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise». Shannon Research Press. International Education Journal. 7 (4): 391–399. Consultado em 14 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 14 de novembro de 2022

[94] Lorch, Richard (Junho de 2001). «Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages» (PDF). Cambridge University Press. Science in Context. 14 (1–2): 313–331. doi:10.1017/S0269889701000114. Consultado em 5 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 17 de dezembro de 2022

[volumes-95] Finkel, B.F. (1897). «Biography- Leonard Euler». The American Mathematical Monthly. 4 (12). 300 páginas

[96] Archibald, Raymond Clare (Janeiro de 1949). «History of Mathematics After the Sixteenth Century». The American Mathematical Monthly. Part 2: Outline of the History of Mathematics. 56 (1): 35–56. JSTOR 2304570. doi:10.2307/2304570

[FOOTNOTESevryuk2006101–109-97] Sevryuk 2006, pp. 101–109.

[98] Wolfram, Stephan (outubro de 2000). Mathematical Notation: Past and Future. MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada em 16 de novembro de 2022

[99] Douglas, Heather; Headley, Marcia Gail; Hadden, Stephanie; LeFevre, Jo-Anne (3 de dezembro de 2020). «Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers». Journal of Numerical Cognition. 6 (3): 322–354. doi:10.5964/jnc.v6i3.293

[AMS-100] Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (outubro de 2017). «AMS Style Guide» (PDF). American Mathematical Society. p. 75. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Arquivado do original (PDF) em 8 de dezembro de 2022

[101] Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). «Constituent Structure in Mathematical Expressions» (PDF). Universidade da Califórnia em Merced. Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society. 22. OCLC 68713073. Consultado em 3 de fevereiro de 2024. Cópia arquivada (PDF) em 16 de novembro de 2022

[102] Rossi, Richard J. (2006). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof. Col: Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. [S.l.]: John Wiley & Sons. pp. 1–14, 47–48. ISBN 978-0-470-04295-3. LCCN 2006041609. OCLC 64085024

[103] «Earliest Uses of Some Words of Mathematics». Escócia. Universidade de St. Andrews. Consultado em 3 de fevereiro de 2024 ^{[ligação inativa]}

[104] Silver, Daniel S. (dezembro de 2017). «The New Language of Mathematics». Sigma Xi. The American Scientist. 105 (6): 364–371. ISSN 0003-0996. LCCN 43020253. OCLC 1480717. doi:10.1511/2017.105.6.364

[105] Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (22 de dezembro de 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation. Col: Mathematical Modeling. 1. [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8331-1. Consultado em 16 de novembro de 2022

[106] Hennig, Christian (2010). «Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective». Foundations of Science. 15: 29–48. doi:10.1007/s10699-009-9167-x. Consultado em 17 de novembro de 2022

[107] Frigg, Roman; Hartmann, Stephan (4 de fevereiro de 2020). «Models in Science». Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado em 17 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 17 de novembro de 2022

[108] Stewart, Ian (2018). «Mathematics, Maps, and Models». In: Wuppuluri; Doria. The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality. Col: The Frontiers Collection. [S.l.]: Springer. pp. 345–356. ISBN 978-3-319-72478-2. doi:10.1007/978-3-319-72478-2_18 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[109] «The science checklist applied: Mathematics». Understanding Science. Universidade da Califórnia em Berkeley. Consultado em 27 de outubro de 2019. Arquivado do original em 27 de outubro de 2019

[110] Mackay, A. L. (1991). Dictionary of Scientific Quotations. Londres: Taylor & Francis. ISBN 978-0-7503-0106-0. Consultado em 19 de março de 2023

[Bishop1991-111] Bishop, Alan (1991). «Environmental activities and mathematical culture». Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. pp. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[112] Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-98269-4

[Nickles2013-113] Nickles, Thomas (2013). «The Problem of Demarcation». Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem. Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-05182-6

[Pigliucci2014-114] Pigliucci, Massimo (2014). «Are There 'Other' Ways of Knowing?». Philosophy Now. Consultado em 6 de abril de 2020. Arquivado do original em 13 de maio de 2020

[Ferreirós_2007-115] Ferreirós, J. (2007). «Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss». In: Catherine Goldstein. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 235–268. ISBN 978-3-540-34720-0

[116] Kuhn, Thomas S. (1976). «Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science». The MIT Press. The Journal of Interdisciplinary History. 7 (1): 1–31. JSTOR 202372. doi:10.2307/202372

[117] Asper, Markus (2009). «The two cultures of mathematics in ancient Greece». In: Robson; Stedall. The Oxford Handbook of the History of Mathematics. Col: Oxford Handbooks in Mathematics. [S.l.]: OUP Oxford. pp. 107–132. ISBN 978-0-19-921312-2 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[118] Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). «Integer Factorization Problem». In: Ahmad; Doja, M. N.; Udzir, Nur Izura; Singh, Manu Pratap. Emerging Security Algorithms and Techniques. [S.l.]: CRC Press. pp. 59–60. ISBN 978-0-8153-6145-9. LCCN 2019010556. OCLC 1082226900

[119] Maddy, P. (2008). «How applied mathematics became pure» (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1 (1): 16–41. doi:10.1017/S1755020308080027. Consultado em 19 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 12 de agosto de 2017

[120] Silver, Daniel S. (2017). «In Defense of Pure Mathematics». In: Pitici. The Best Writing on Mathematics, 2016. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 17–26. ISBN 978-0-691-17529-4 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[121] Parshall, Karen Hunger (2022). «The American Mathematical Society and Applied Mathematics from the 1920s to the 1950s: A Revisionist Account». Bulletin of the American Mathematical Society. 59 (3): 405–427. doi:10.1090/bull/1754. Consultado em 20 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 20 de novembro de 2022

[122] Stolz, Michael (2002). «The History Of Applied Mathematics And The History Of Society». Synthese. 133: 43–57. doi:10.1023/A:1020823608217. Consultado em 20 de novembro de 2022

[123] Lin, C. C . (Março de 1976). «On the role of applied mathematics». Advances in Mathematics. 19 (3): 267–288. doi:10.1016/0001-8708(76)90024-4

[124] Peressini, Anthony (Setembro de 1999). Applying Pure Mathematics (PDF). Philosophy of Science. Proceedings of the 1998 Biennial Meetings of the Philosophy of Science Association. Part I: Contributed Papers. 66. pp. S1–S13. JSTOR 188757. Consultado em 30 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 2 de janeiro de 2024

[125] Lützen, J. (2011). Mathematics meets physics: A contribution to their interaction in the 19th and the first half of the 20th century. Verlag Harri Deutsch. Consultado em 19 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 23 de março de 2023

[126] Marker, Dave (Julho de 1996). «Model theory and exponentiation». Notices of the American Mathematical Society. 43 (7): 753–759. Consultado em 19 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 13 de março de 2014

[127] Chen, Changbo; Maza, Marc Moreno (agosto de 2014). Cylindrical Algebraic Decomposition in the RegularChains Library. International Congress on Mathematical Software 2014. Lecture Notes in Computer Science. 8592. Springer. doi:10.1007/978-3-662-44199-2_65. Consultado em 19 de novembro de 2022

[128] Pérez-Escobar, José Antonio; Sarikaya, Deniz (2021). «Purifying applied mathematics and applying pure mathematics: how a late Wittgensteinian perspective sheds light onto the dichotomy». European Journal for Philosophy of Science. 12 (1): 1–22. doi:10.1007/s13194-021-00435-9

[129] Takase, M. (2014). «Pure Mathematics and Applied Mathematics are Inseparably Intertwined: Observation of the Early Analysis of the Infinity». A Mathematical Approach to Research Problems of Science and Technology. Col: Mathematics for Industry. 5. Tokyo: Springer. pp. 393–399. ISBN 978-4-431-55059-4. doi:10.1007/978-4-431-55060-0_29 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[130] Sarukkai, Sundar (10 de fevereiro de 2005). «Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics». Current Science. 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208

[131] Wagstaff, Jr., Samuel S. (2021). «History of Integer Factoring». In: Bos; Stam. Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL (PDF). Col: London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 41–77. Consultado em 20 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 20 de novembro de 2022

[132] «Curves: Ellipse». Universidade de St Andrews. Consultado em 20 de novembro de 2022. Arquivado do original em 14 de outubro de 2022

[133] Mukunth, Vasudevan (10 de setembro de 2015). «Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry». The Wire. Consultado em 20 de novembro de 2022. Arquivado do original em 20 de novembro de 2022

[134] Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (Novembro de 1912). «The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics». Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 48 (11): 389–507. JSTOR 20022840. doi:10.2307/20022840

[borel-135] Borel, Armand (1983). «Mathematics: Art and Science». Springer. The Mathematical Intelligencer. 5 (4): 9–17. ISSN 1027-488X. doi:10.4171/news/103/8

[136] Hanson, Norwood Russell (novembro de 1961). «Discovering the Positron (I)». The University of Chicago Press. The British Journal for the Philosophy of Science. 12 (47): 194–214. JSTOR 685207. doi:10.1093/bjps/xiii.49.54

[137] Ginammi, Michele (Fevereiro de 2016). «Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω^– particle». Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 53: 20–27. Bibcode:2016SHPMP..53...20G. doi:10.1016/j.shpsb.2015.12.001

[138] Wagh, Sanjay Moreshwar; Deshpande, Dilip Abasaheb (27 de setembro de 2012). Essentials of Physics (em inglês). [S.l.]: PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 978-81-203-4642-0. Consultado em 3 de janeiro de 2023

[139] Atiyah, Michael (1990). On the Work of Edward Witten (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians. p. 31. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 28 de setembro de 2013

[141] Borwein, J.; Borwein, P.; Girgensohn, R.; Parnes, S. (1996). «Conclusion». oldweb.cecm.sfu.ca. Arquivado do original em 21 de janeiro de 2008

[142] Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; Mclaughlin, Sean (2017). «A Formal Proof of the Kepler Conjecture». Forum of Mathematics, Pi (em inglês). 5: e2. ISSN 2050-5086. doi:10.1017/fmp.2017.1. Consultado em 25 de fevereiro de 2023. Cópia arquivada em 4 de dezembro de 2020

[143] «P versus NP problem | mathematics». Britannica (em inglês). Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 6 de dezembro de 2022

[:2-144] Millstein, Roberta (8 de setembro de 2016). «Probability in Biology: The Case of Fitness». In: Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher. The Oxford Handbook of Probability and Philosophy (PDF). [S.l.: s.n.] pp. 601–622. doi:10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 7 de março de 2023

[145] See for example Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés» 15-17 janvier 1996, CNRS

[FOOTNOTEBouleau1999282–283-146] Bouleau 1999, pp. 282–283.

[FOOTNOTEBouleau1999285-147] Bouleau 1999, p. 285.

[148] «1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model». Mathematics LibreTexts (em inglês). 5 de janeiro de 2022. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de dezembro de 2022

[FOOTNOTEBouleau1999287-149] Bouleau 1999, p. 287.

[150] Edling, Christofer R. (2002). «Mathematics in Sociology». Annual Review of Sociology (em inglês). 28 (1): 197–220. ISSN 0360-0572. doi:10.1146/annurev.soc.28.110601.140942

[151] Batchelder, William H. (1 de janeiro de 2015), Wright, James D., ed., Mathematical Psychology: History, ISBN 978-0-08-097087-5, Oxford: Elsevier, pp. 808–815, consultado em 30 de setembro de 2023

[:3-152] Zak, Paul J. (2010). Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3736-6. Consultado em 3 de janeiro de 2023

[:4-153] Kim, Oliver W. (29 de maio de 2014). «Meet Homo Economicus». The Harvard Crimson. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de dezembro de 2022

[154] «Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com». www.encyclopedia.com. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 1 de julho de 2016

[155] «Mathématique de l'histoire-géometrie et cinématique. Lois de Brück. Chronologie géodésique de la Bible., by Charles LAGRANGE et al. | The Online Books Page». onlinebooks.library.upenn.edu

[156] «Cliodynamics: a science for predicting the future». ZDNET (em inglês). Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de dezembro de 2022

[157] Sokal, Alan; Jean Bricmont (1998). Fashionable Nonsense. New York: Picador. ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC 39605994

[158] Beaujouan, Guy (1994). Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Age: mélanges d'histoire des sciences offerts à Guy Beaujouan (em francês). [S.l.]: Librairie Droz. ISBN 978-2-600-00040-6. Consultado em 3 de janeiro de 2023

[159] «L'astrologie à l'épreuve : ça ne marche pas, ça n'a jamais marché ! / Afis Science – Association française pour l'information scientifique». Afis Science – Association française pour l’information scientifique (em francês). Consultado em 28 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 29 de janeiro de 2023

[160] Dorato, Mauro (2005). «Why are laws mathematical?». The Software of the Universe, An Introduction to the History and Philosophy of Laws of Nature (PDF). [S.l.]: Ashgate. pp. 31–66. ISBN 978-0-7546-3994-7. Consultado em 5 de dezembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 17 de agosto de 2023

[Mura-161] Mura, Roberta (Dezembro de 1993). «Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences». Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375–85. JSTOR 3482762. doi:10.1007/BF01273907

[Runge-162] Tobies, Renate; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-0348-0229-1. Consultado em 20 de junho de 2015

[163] Ziegler, Günter M.; Loos, Andreas (2 de novembro de 2017). "What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it. Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education. ICME-13 Monographs. Springer. pp. 63–77. ISBN 978-3-319-62596-6. doi:10.1007/978-3-319-62597-3_5

[Franklin-164] Franklin, James (2009). Philosophy of Mathematics. [S.l.]: Elsevier. pp. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. Consultado em 20 de junho de 2015

[Cajori-165] Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. [S.l.]: American Mathematical Society (1991 reprint). pp. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2. Consultado em 20 de junho de 2015

[166] Brown, Ronald; Porter, Timothy (Janeiro de 2000). «The Methodology of Mathematics». The Mathematical Gazette. 79 (485): 321–334. JSTOR 3618304. doi:10.2307/3618304. Consultado em 25 de novembro de 2022. Cópia arquivada em 23 de março de 2023

[167] Strauss, Danie (2011). «Defining mathematics». Acta Academica. 43 (4): 1–28. Consultado em 25 de novembro de 2022

[170] Hamami, Yacin (Junho de 2022). «Mathematical Rigor and Proof» (PDF). The Review of Symbolic Logic. 15 (2): 409–449. doi:10.1017/S1755020319000443. Consultado em 21 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 5 de dezembro de 2022

[172] Peterson 1988, p. 4: "A few complain that the computer program can't be verified properly." (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem)

[174] Perminov, V. Ya. (1988). «On the Reliability of Mathematical Proofs». Revue Internationale de Philosophie. Philosophy of Mathematics. 42 (167 (4)): 500–508

[175] Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). «Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor». International Journal of Educational Research. 93: 91–100. doi:10.1016/j.ijer.2018.10.002

[176] Endsley, Kezia (2021). Mathematicians and Statisticians: A Practical Career Guide. Col: Practical Career Guides. [S.l.]: Rowman & Littlefield. pp. 1–3. ISBN 978-1-5381-4517-3. Consultado em 29 de novembro de 2022

[177] Robson, Eleanor (2009). «Mathematics education in an Old Babylonian scribal school». In: Robson; Stedall. The Oxford Handbook of the History of Mathematics. [S.l.]: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[178] Bernard, Alain; Proust, Christine; Ross, Micah (2014). «Mathematics Education in Antiquity». In: Karp; Schubring. Handbook on the History of Mathematics Education. Nova York: Springer. pp. 27–53. ISBN 978-1-4614-9154-5. doi:10.1007/978-1-4614-9155-2_3

[179] Dudley, Underwood (Abril de 2002). «The World's First Mathematics Textbook». Taylor & Francis, Ltd. Math Horizons. 9 (4): 8–11. JSTOR 25678363. doi:10.1080/10724117.2002.11975154

[180] Subramarian, F. Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam (PDF). History and Pedagogy of Mathematics conference, July 16–20, 2012. Consultado em 29 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 28 de novembro de 2022

[181] Siu, Man Keung (2004). «Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination?». How Chinese Learn Mathematics (PDF). Col: Series on Mathematics Education. 1. [S.l.: s.n.] pp. 157–185. ISBN 978-981-256-014-8. doi:10.1142/9789812562241_0006. Consultado em 26 de novembro de 2022

[182] Jones, Phillip S. (1967). «The History of Mathematical Education». Taylor & Francis, Ltd. The American Mathematical Monthly. 74 (1): 38–55. JSTOR 2314867. doi:10.2307/2314867

[183] Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (Agosto de 2012). «Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies». ZDM Mathematics Education. 44 (4): 457–459. doi:10.1007/s11858-012-0445-7

[184] von Davier, Matthias; Foy, Pierre; Martin, Michael O.; Mullis, Ina V.S. (2020). «Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data: A Look at Country-Level Mode of Administration Effects». TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science (PDF) (em inglês). [S.l.]: TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education and Human Development and International Association for the Evaluation of Educational Achievement. ISBN 978-1-889938-54-7. Consultado em 29 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 29 de novembro de 2022

[185] Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (Março de 2012). «Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career» (PDF). The Career Development Quarterly. 60 (1): 2–15. doi:10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. Consultado em 29 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 22 de novembro de 2023

[186] Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). «Spotlight on math anxiety». Psychology Research and Behavior Management. 11: 311–322. PMC 6087017. PMID 30123014. doi:10.2147/PRBM.S141421

[187] Yaftian, Narges (2 de junho de 2015). «The Outlook of the Mathematicians' Creative Processes». Procedia - Social and Behavioral Sciences. 191: 2519–2525. doi:10.1016/j.sbspro.2015.04.617

[188] Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (10 de outubro de 2013). «The Frontage of Creativity and Mathematical Creativity». Procedia - Social and Behavioral Sciences. 90: 344–350. doi:10.1016/j.sbspro.2013.07.101

[189] van der Poorten, A. (1979). «A proof that Euler missed... Apéry's Proof of the irrationality of ζ(3)» (PDF). The Mathematical Intelligencer. 1 (4): 195–203. doi:10.1007/BF03028234. Consultado em 22 de novembro de 2022. Cópia arquivada (PDF) em 6 de setembro de 2015

[190] Petkovi, Miodrag (2 de setembro de 2009). Famous Puzzles of Great Mathematicians. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. xiii–xiv. ISBN 978-0-8218-4814-2. Consultado em 25 de novembro de 2022

[191] Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. Consultado em 22 de novembro de 2022 See also A Mathematician's Apology.

[192] Alon, Noga; Goldston, Dan; Sárközy, András; Szabados, József; Tenenbaum, Gérald; Garcia, Stephan Ramon; Shoemaker, Amy L. (Março de 2015). Krishnaswami, Alladi; Krantz, Steven G., eds. «Reflections on Paul Erdős on His Birth Centenary, Part II». Notices of the American Mathematical Society. 62 (3): 226–247. doi:10.1090/noti1223

[193] See, for example Bertrand Russell's statement "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty ..." in his History of Western Philosophy. [S.l.: s.n.] 1919

[194] Cazden, Norman (outubro de 1959). «Musical intervals and simple number ratios». Journal of Research in Music Education. 7 (2): 197–220. JSTOR 3344215. doi:10.1177/002242945900700205

[195] Budden, F. J. (Outubro de 1967). «Modern mathematics and music». Cambridge University Press ({CUP}). The Mathematical Gazette. 51 (377): 204–215. JSTOR 3613237. doi:10.2307/3613237

[196] Enquist, Magnus; Arak, Anthony (Novembro de 1994). «Symmetry, beauty and evolution». Nature (em inglês). 372 (6502): 169–172. Bibcode:1994Natur.372..169E. ISSN 1476-4687. PMID 7969448. doi:10.1038/372169a0. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada em 28 de dezembro de 2022

[197] Hestenes, David (1999). «Symmetry Groups» (PDF). geocalc.clas.asu.edu. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original (PDF) em 1 de janeiro de 2023

[198] Bender, Sara (Setembro de 2020). «The Rorschach Test». In: Carducci; Nave, Christopher S.; Mio; Riggio, Ronald E. The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment. Wiley. pp. 367–376. ISBN 978-1-119-05751-2. doi:10.1002/9781119547167.ch131

[199] Weyl, Hermann (2015). Symmetry. Col: Princeton Science Library. 47. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7434-7

[200] Bradley, Larry (2010). «Fractals – Chaos & Fractals». www.stsci.edu. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 7 de março de 2023

[201] «Self-similarity». math.bu.edu. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Arquivado do original em 2 de março de 2023

[202] Kissane, Barry (Julho de 2009). Popular mathematics. 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers. Fremantle, Western Australia: Australian Association of Mathematics Teachers. pp. 125–126. Consultado em 29 de dezembro de 2022. Cópia arquivada em 7 de março de 2023

[203] Steen, L. A. (2012). Mathematics Today Twelve Informal Essays (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-9435-8. Consultado em 3 de janeiro de 2023

[204] Pitici, Mircea (2017). The Best Writing on Mathematics 2016 (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8560-2. Consultado em 3 de janeiro de 2023

[FOOTNOTEMonastyrsky20011-205] Monastyrsky 2001, p. 1: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."

[FOOTNOTERiehm2002778–782-206] Riehm 2002, pp. 778–782.

[207] «Fields Medal | International Mathematical Union (IMU)». www.mathunion.org. Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Arquivado do original em 26 de dezembro de 2018

[StAndrews-Fields-208] «Fields Medal». Maths History (em inglês). Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Arquivado do original em 22 de março de 2019

[209] Universidade de St. Andrews (ed.). «Honours/Prizes Index». Consultado em 20 de fevereiro de 2023. Arquivado do original em 17 de dezembro de 2021

[210] «About the Abel Prize». The Abel Prize. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 14 de abril de 2022

[211] «Abel Prize | mathematics award». Encyclopedia Britannica (em inglês). Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 26 de janeiro de 2020

[212] «Chern Medal Award» (PDF). www.mathunion.org. 1 de junho de 2009. Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Arquivado do original (PDF) em 17 de junho de 2009

[213] «Chern Medal Award». International Mathematical Union (IMU). Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 25 de agosto de 2010

[214] «The Leroy P Steele Prize of the AMS». School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Consultado em 17 de novembro de 2022. Arquivado do original em 17 de novembro de 2022

[215] Chern, S. S.; Hirzebruch, F. (Setembro de 2000). Wolf Prize in Mathematics (em inglês). [S.l.: s.n.] ISBN 978-981-02-3945-9. doi:10.1142/4149. Consultado em 21 de fevereiro de 2022. Cópia arquivada em 21 de fevereiro de 2022

[216] «The Wolf Prize». Wolf Foundation (em inglês). Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 12 de janeiro de 2020

[:0-217] «Hilbert's Problems: 23 and Math». Simons Foundation (em inglês). 6 de maio de 2020. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 23 de janeiro de 2022

[218] Feferman, Solomon (1998). «Deciding the undecidable: Wrestling with Hilbert's problems». In the Light of Logic. Col: Logic and Computation in Philosophy series. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 3–27. ISBN 978-0-19-508030-8. Consultado em 29 de novembro de 2022

[219] «The Millennium Prize Problems». Clay Mathematics Institute. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 3 de julho de 2015

[220] «Millennium Problems». Clay Mathematics Institute. Consultado em 23 de janeiro de 2022. Arquivado do original em 20 de dezembro de 2018

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[2]

[3]

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[5]

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