Matriz aumentada

Na álgebra linear, uma matriz aumentada é uma matriz obtida anexando as colunas de duas matrizes fornecidas, geralmente com o objetivo de executar as mesmas operações de linha elementares em cada uma das matrizes fornecidas.

Dadas as matrizes $A$ e $B$, onde

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},$

a matriz aumentada $(A|B)$ é escrita como

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].$

Isso é útil ao resolver sistemas de equações lineares.

Para um determinado número de incógnitas, o número de soluções para um sistema de equações lineares depende apenas do posto da matriz que representa o sistema e do posto da matriz aumentada correspondente. Especificamente, de acordo com o teorema de Rouché-Capelli, qualquer sistema de equações lineares é inconsistente (não possui soluções) se o posto da matriz aumentada for maior que o posto da matriz do coeficiente; se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes forem iguais, o sistema deverá ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se o posto for igual ao número de variáveis. Caso contrário, a solução geral terá $k$ parâmetros livres, onde $k$ é a diferença entre o número de variáveis e o posto; portanto, nesse caso, há uma infinidade de soluções.

Uma matriz aumentada também pode ser usada para encontrar a inversa de uma matriz combinando-a com a matriz identidade.

Encontrando a matriz inversa

Seja $C$ a matriz quadrada $2\times 2$

$C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$

Para encontrar o inverso de $C$, criamos $(C|I)$ onde $I$ é a matriz identidade $2\times 2$. Em seguida, reduzimos a parte de $(C|I)$ correspondente a $C$ à matriz identidade usando apenas operações de linha elementares em $(C|I)$.

$(C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]$,

a parte direita é o inverso da matriz $C$ original.

Seja $U$ a matriz quadrada $3\times 3$

$U=\left[{\begin{array}{ccc}1&3&2\\1&3&4\\2&5&6\end{array}}\right].$

Para encontrar o inverso de $U$, criamos $(U|I)$ e usamos operações elementares para escalonar a matriz

$(U|I)=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&3&2&1&0&0\\1&3&4&0&1&0\\2&5&6&0&0&1\end{array}}\right].$

$(I|U^{-1})=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&-4&3\\0&1&0&1&1&-1\\0&0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right]$

onde $U^{-1}$ está a direita da matriz identidade.

Existência e número de soluções

Considere o sistema de equações

${\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=2.\end{aligned}}$

A matriz dos coeficientes é

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

e a matriz aumentada é

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].$

Como ambas têm o mesmo posto, ou seja, 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo a última 3, há um número infinito de soluções.

Por outro lado, considere o sistema

${\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}$

A matriz dos coeficientes é

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

e a matriz aumentada é

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$

Neste exemplo, a matriz dos coeficientes possui posto 2, enquanto a matriz aumentada possui posto 3; então esse sistema de equações não tem solução. De fato, um aumento no número de linhas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente.

Solução de um sistema linear

Como usado na álgebra linear, uma matriz aumentada é usada para representar os coeficientes e o vetor de solução de cada conjunto de equações.

Para o conjunto de equações

${\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}$

os coeficientes e termos constantes dão as matrizes

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},$

e, portanto, resulta na matriz aumentada

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]$.

Observe que o posto da matriz dos coeficientes, que é 3, é igual ao posto da matriz aumentada; portanto, existe pelo menos uma solução; e como esse posto é igual ao número de incógnitas, existe exatamente uma solução.

Para obter a solução, operações de linha podem ser executadas na matriz aumentada para obter a matriz identidade no lado esquerdo, produzindo

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],$

então a solução do sistema é $(x,y,z)=(4,1,-2)$.

Referências

• Marvin Marcus e Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Pg. 31.
• Seymour Lipschutz e Marc Lipson, Matemática Discreta - 2.ed., Grupo A - Bookman, 2000, ISBN 8577803279. Pg. 110