Simetrie ciclică în spațiul tridimensional

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] =	Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] =	Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] =	Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] =

În geometria tridimensională, există patru serii infinite de grupuri punctuale în spațiul tridimensional^⁠(d) (n≥1) cu simetrie de rotație sau de reflexie de n ori în jurul unei axe (cu un unghi de 360°/n) care nu schimbă obiectul.

Ele sunt grupurile de simetrie finite pe un con. Pentru n = ∞ ele corespund la patru grupuri ale frizelor. Se folosește notația Schönflies. Termenii orizontal (h) și vertical (v) descriu existența și direcția reflexiilor față de o axă verticală de simetrie. De asemenea, sunt indicate notația Coxeter între paranteze drepte și notația orbifold între paranteze rotunde.

Exemplu de arbore de subgrup de simetrie pentru simetrie diedrală: D_4h, [4,2], (*224)

Tipuri

Chirală

• C_n, [n]⁺, ('n'n) de ordinul n – simetrie de rotație de n ori sau grup acro-n-gonal (grup abstract: 'Z_n^⁠(d)); pentru n=1: nesimetric (grup trivial)

Achirală

Piesă de ambalaj cu simetrie C_2h

• C_nh, [n⁺,2], (n*) de ordinul 2n - simetrie prismatică sau grup orto-n-gonal (grup abstract 'Z_n^⁠(d)) × Dih₁); pentru n=1 aceasta este notată C_s (1*)' și numită simetrie de reflexie (în biologie, simetrie bilaterală). Are simetrie de reflexie de n ori față de un plan perpendicular pe axa de rotație.
• C_nv, [n], (*nn) de ordinul 2n - simetrie piramidală sau grup complet acro-n-gonal (grup abstract: Dih_n); în biologie C_2v este numit simetrie biradială. Pentru n=1 avem din nou C_s (1*). Are plane verticale de simetrie. Acesta este grupul de simetrie pentru o piramidă regulată cu n laturi.

• S_2n, [2⁺,2n⁺], (n×) de ordinul 2n - grup giro-n-gonal (a nu se confunda cu grupurile simetrice^⁠(d), pentru care se folosește aceeași notație; grup abstract: Z_2n). Are o axă de rotație improprie de 2n ori, adică grupul de simetrie conține o combinație a unei reflexii în plan orizontal și o rotație cu un unghi de 180°/n. Astfel, D_nd, conține un număr de rotații improprii fără a conține și rotațiile corespunzătoare.
  • pentru n=1 avem S₂ (1×), notat și cu C_i ; aceasta este simetria față de centru.

C_2h, [2,2⁺] (2*) și C_2v, [2], (*22) de ordinul of order 4 sunt două dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie tridimensională cu grupul lui Klein ca grup abstract. C_2v se aplică, de exemplu, la o pavare dreptunghiulară cu partea superioară diferită de partea inferioară.

Grupuri ale frizelor

La limită, aceste patru grupuri reprezintă grupuri ale frizelor plane euclidiene ca C_∞, C_∞h, C_∞v și S_∞. La limită rotațiile devin translații. De asemenea, porțiuni din planul infinit pot fi decupate și conectate sub forma unui cilindru infinit.

Grupuri ale frizelor

Notații				Exemple
IUC	Orbifold	Coxeter	Schönflies*	Plan euclidian	Cilindric (n = 6)
p1	∞∞	[∞]+	C∞
p1m1	*∞∞	[∞]	C∞v
p11m	∞*	[∞+,2]	C∞h
p11g	∞×	[∞+,2+]	S∞

Exemple

S2/Ci (1x):	C4v (*44):		C5v (*55):
Paralelipiped	Piramidă pătrată	Piramidă pătrată alungită	Piramidă pentagonală

Bibliografie

• en Sands, Donald E. (1993). „Crystal Systems and Geometry”. Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p. 165. ISBN 0-486-67839-3. 
• en On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN: 978-1-56881-134-5
• en The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN: 978-1-56881-220-5
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
• en N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Vezi și

• Simetrie diedrală în spațiul tridimensional