Гомоморфізм груп

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

Гомоморфі́зм груп — відображення $\phi$ групи $(G,*)$ в групу $(H,\cdot )$, що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi \colon G\rightarrow H:\quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G$.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи $(G,*)$ переходить в одиницю групи $(H,\cdot )$; обернені елементи переходять в обернені.

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів $(G,*)$, що відображаються в одиницю групи $(H,\cdot )$:

$ker\,\phi =\{x\in G\colon \phi (x)=e_{H}\}$.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів $H$, що є образами елементів $G$:

$im\,\phi =\phi (G)$.

Властивості

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

$\phi (A)=\operatorname {det} (A),\quad A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$,

що є відображенням групи $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ невироджених лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{n}$ на мультиплікативну групу дійсних чисел $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Як добре відомо, $\operatorname {det} (AB)=\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (B)$.

Див. також

• Гомоморфізм
• Ізоморфізм груп
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)