Số Cullen

Trong toán học, số Cullen là số nằm trong dãy số $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ (trong đó $n$ là số tự nhiên). Các số Cullen được lần đầu nghiên cứu bởi nhà toán học James Cullen trong 1905. Các số này là trường hợp đặc biệt của số Proth.

Nếu số $C_{n}$ là số nguyên tố thì ta gọi số đó là số nguyên tố Cullen.

Các tính chất

Trong 1976 Christopher Hooley đã chứng minh rằng mật độ tự nhiên của các số nguyên dương $n\leq x$ sao cho C_n là số nguyên tố là vào khoảng o(x) khi $x\to \infty$. Tức là, gần như tất cả các số Cullen đều là hợp số. Bài chứng minh của Hooley được viết lại bởi Hiromi Suyama để chứng tỏ rằng nó cũng đúng với mọi dãy số nguyên dưới dạng n·2^{n + a} + b trong đó a và b là các số nguyên, và đồng thời cũng đúng cho các số Woodall. Dãy các giá trị n sao cho số Cullen là số nguyên tố là:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (dãy số A005849 trong bảng OEIS).

Song, các nhà toán học vẫn đặt giả thuyết rằng có vô hạn các số nguyên tố Cullen.

Số Cullen C_n chia hết cho p = 2n − 1 nếu p là số nguyên tố nằm dưới dạng 8k − 3; hơn nữa, bằng định lý bé Fermat, ta sẽ suy ra được nếu p là số nguyên tố lẻ, thì p là ước của C_m(k) và m(k) = (2^k − k)(p − 1) − k (với k > 0). Ta cũng chứng minh rằng số nguyên tố p là ước của C_{(p + 1)/2} khi ký hiệu Jacobi (2 | p) bằng −1, và p là ước của C_{(3p − 1)/2} khi ký hiệu Jacobi (2 | p) bằng + 1.

Hiện ta chưa biết liệu có số nguyên tố p sao cho C_p cũng là số nguyên tố.

Dạng tổng quát

Số Cullen tổng quát cơ số b là các số có dạng n·bⁿ + 1, trong đó n + 2 > b; nếu một số nguyên tố có thể viết dưới dạng này thì số đó được gọi là số nguyên tố Cullen tổng quát. Các số Woodall còn được gọi là Số Cullen thuộc loại hai.

Tính đến tháng 10 năm 2021, số nguyên tố Cullen tổng quát lớn nhất được biết đến là số 2525532·73^2525532 + 1. Nó có 4,705,888 chữ số và được phát hiện bởi Tom Greer, một trong những người tham gia dự án PrimeGrid.

Theo định lý bé Fermat, nếu có số nguyên tố p sao cho n chia hết cho p − 1 và n + 1 chia hết cho p (đặc biệt là khi n = p − 1) và p không phải là ước của b, thì bⁿ phải đồng dư với 1 mod p (bởi bⁿ là luỹ thừa của b^{p − 1} và b^{p − 1} đồng dư với 1 mod p). Do đó, n·bⁿ + 1 chia hết cho p, nên nó không phải số nguyên tố. Lấy ví dụ, nếu n đồng dư với 2 mod 6 (tức là 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...) và n·bⁿ + 1 là số nguyên tố, thì b phải chia hết cho 3 (trừ trường hợp b = 1).

Dãy các giá trị nhỏ nhất của n sao cho n·bⁿ + 1 là số nguyên tố (để dấu hỏi nếu phần tử này chưa biết là có hay không) là

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, ?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, ?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, ?, 3, ?, 9665, 62, 1, 1341174, 3, ?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897, ?, 1, 13948, 1, ?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (dãy số A240234 trong bảng OEIS)

b	Các số n sao cho n × bn + 1 là số nguyên tố (các giá trị của n được kiểm tra lên tới 101757)	Dãy OEIS
1	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, ... (loại trừ số 1 ra)	A006093
2	1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, ...	A005849
3	2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, ...	A006552
4	1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, ...	A007646
5	1242, 18390, ...
6	1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, ...	A242176
7	34, 1980, 9898, ...	A242177
8	5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, ..., 749130, ...	A242178
9	2, 12382, 27608, 31330, 117852, ...	A265013
10	1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, ...	A007647
11	10, ...
12	1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895, ...	A242196
13	...
14	3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, ...	A242197
15	8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, ...	A242198
16	1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, ...	A242199
17	19650, 236418, ...
18	1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, ...	A007648
19	6460, ...
20	3, 6207, 8076, 22356, 151456, ...	A338412
21	2, 8, 26, 67100, ...
22	1, 15, 189, 814, 19909, 72207, ...
23	4330, 89350, ...
24	2, 8, 368, ...
25	2805222, ...
26	117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, ...
27	2, 56, 23454, ..., 259738, ...
28	1, 48, 468, 2655, 3741, 49930, ...
29	...
30	1, 2, 3, 7, 14, 17, 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, ...

Đọc thêm

• Cullen, James (tháng 12 năm 1905), “Question 15897”, Educ. Times: 534.
• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (ấn bản thứ 3), New York: Springer Verlag, Section B20, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001.
• Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods, Cambridge Tracts in Mathematics, 70, Cambridge University Press, tr. 115–119, ISBN 0-521-20915-3, Zbl 0327.10044.
• Keller, Wilfrid (1995), “New Cullen Primes” (PDF), Mathematics of Computation, 64 (212): 1733–1741, S39–S46, doi:10.2307/2153382, ISSN 0025-5718, Zbl 0851.11003.

Liên kết ngoài

• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
• The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Generalized Cullen at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W., "Cullen number" từ MathWorld.
• Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
• Paul Leyland, (Generalized) Cullen and Woodall Numbers