Nilai mutlak

Grafik fungsi y-x, dengan x nombor nyata.

Dalam matematik, Nilai mutlak atau nilai absolut atau modulus merupakan nilai bagi suatu nombor nyata tanpa tanda tambah atau tolak. Baik $|a|$ ataupun $|-a|$ sama-sama bernilai $a$. Sebagai contoh, nilai mutlak dari 3 adalah 3, dan nilai mutlak dari –3 juga 3.

Terminologi dan penulisan

Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah "module" pada tahun 1806 di Perancis khususnya untuk nilai mutlak nombor kompleks, dan perkataan itu akhirnya di terima dalam bahasa Inggeris pada tahun 1866 menjadi "modulus".

Istilah "nilai mutlak" telah digunakan sejak tahun 1806 di Perancis dan 1857 di England. Penulisan | a | diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.

Maksud dan harta

Untuk semua nombor nyata a nilai mutlak dinyatakan dengan | a | (a diapit garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}$

Dari maksud di atas, nilai mutlak a akan selalu positif atau nol, tetapi tidak pernah negatif

Maksud lain dari nilai mutlak adalah

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$, $a\in \mathbb {R}$

$|a|^{2}=a^{2}\,$, $a\in \mathbb {R}$

disebabkan nombor daripada punca kuasa dua mewakili nombor positif.

Maksud ini sering digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan mutlak. Contoh:

$|x-2|=x$

$|x-2|^{2}=x^{2}$

$(x-2-x^{2})(x-2+x^{2})=0$

$(x^{2}-x+2)(x^{2}+x-2)=0$

$x=1\lor x=-2$

(Catatan: $x^{2}-x+2$ tidak mempunyai nombor nyata.)

Nilai Mutlak bagi Nombor Kompleks

Maklumat selanjutnya: Nombor kompleks

Nilai mutlak bagi nombor kompleks $a+bi$ dimana $i$ ialah unit khayalan adalah;

$|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Ini serupa dengan formula teorem Pythagoras.

Sumber

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.