$a, b\geqq 0$ のとき， $$\dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$$ という不等式が成立する。これを相加相乗平均の不等式と言う。

$$\left( \sum_{i=1}^n a_{i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_{i}^2 \right) \geq \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2$$

$r>0, x, y, z \geqq 0$ に対して， $$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y) \geqq 0$$ となる。等号成立条件は，

$x=y=z$ or $x, y, z$ のうち1つが0で残りの2つが等しい場合である。

非負実数 $a_1, a_2,\cdots, a_n$ と重み $w_1, w_2, \cdots, w_n$ に対して以下の不等式が成立する。 $$\sum_{i=1}^nw_ia_i\geq \displaystyle\prod_{i=1}^na_i^{w_i}$$ 等号成立条件は $a_1=a_2=\cdots =a_n$

$b_i>0\:(i=1\cdots n)$ のとき，以下の不等式が成立する。 $$\sum\dfrac{a_i^2}{b_i}\geq \dfrac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$$ 等号成立条件は $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であること。

シグマの和は $1$ から $n$ まで取る。

各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と，任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して，$[a]\succeq [b]$ ならば $$\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i} \geq \sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}$$ が成立する。等号成立条件は，$a=b$ または， $x_1=x_2=\cdots=x_n$ である。

$a, b, c>0$ のとき以下の不等式が成立する。 $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$$

$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$，$y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$ ，$(1, 2, \cdots, n)$ の並べ替え $(\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n))$ に対して， $$\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{\sigma(i)}\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}$$

$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$，$y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$ に対して， $$\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^nx_i y_{i} \geqq \left(\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{i} \right) \left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_{i} \right) \geq\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{i} y_{n+1-i}$$ が成立する。

$a_{ij}\geq 0,w_i > 0, \displaystyle\sum_{i=1}^mw_i=1$ のとき， $$\displaystyle\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})^{w_i}\geq \sum_{j=1}^n(\prod_{i=1}^ma_{ij}^{w_i})$$ である。等号成立条件は $m$ 本のベクトル $(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj})\:(j=1,2,\cdots ,m)$ たちが全て平行のとき。

三角形 $ABC$ の三辺の長さを $a, b, c$ ，面積を $S$ とおくとき以下の不等式が成立する。 $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$$

四角形 $ABCD$ において， $$AB\times CD+AD\times BC\geq AC\times BD$$ 等号成立条件は，四角形 $ABCD$ が円に内接する四角形であること。

$a, b > 0,\:\:p,q > 1,\:\:\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ のとき， $$\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab$$ である。

$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ において， $$\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x$$ が成立する。

三角形 $ABC$ の三辺の長さを $a,b,c$ ，外接円の半径を $R$ とおくと， $$a^2+b^2+c^2\leq 9R^2$$ が成立する。

$$f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)\geq k$$ を証明する代わりに $$f(a, b, c)\geq \dfrac{ka^r}{a^r+b^r+c^r}$$ を証明する手法

• $[a]\succeq [b]$ を満たす実数の列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$
• $f(x)$ は微分可能で凸

このとき， $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)\geq f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_n)$$ である。

$n$ 変数の $k$ 次の基本対称式を $S(n,k)$ とおき，$d(n,k)=\dfrac{S(n,k)}{{}_n \mathrm{C}_{k}}$ とおく。

このとき，$d(n,k)^2\geq d(n,k-1)\; d(n,k+1)$ である。

$1\leq p\leq\infty$ のとき， $$\|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p$$ となる。

$x$ の「大きさ」を $\|x\|$ と書くとき，いろいろな「大きさ」に対して以下の不等式が成立する。 $$\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$$

非負実数 $a,b,c$ に対して

$$\sqrt[3]{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\left(\dfrac{b+c}{2}\right)\left(\dfrac{c+a}{2}\right)}\geq\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}$$

を証明せよ。

任意の正の実数 $x$ に対して

$\log x\leq x-1$

任意の非負の実数 $x_k$ たちと正の実数 $p$ に対して

$$f(p)=\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}$$

とおくと $f(p)$ は単調増加である。

任意の正の整数 $n$ と $-1$ より大きい実数 $x$ に対して， $$(1+x)^n\geq 1+nx$$ である。

$x,\:y,\:z$ と非負整数 $n$ ，三角形の内角 $A,\:B,\:C$ に対して以下の不等式が成立する。 $$x^2+y^2+z^2\geq 2(-1)^{n+1} (yz\cos nA+zx\cos nB+xy\cos nC)$$ 等号成立条件は，$\sin nA,\:\sin nB,\:\sin nC$ がいずれも $0$ でないもとで， $$\dfrac{x}{\sin nA}=\dfrac{y}{\sin nB}=\dfrac{z}{\sin nC}$$ である。

$n$ 変数 $k$ 次の基本対称式を ${}_n\mathrm{C}_k$ で割ったものを $d_k$ とする。このとき，

$$d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}}$$ が成立する。

任意の三角形 $ABC$ について，

$$\sin A\sin B\sin C\leq\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3ABC$$ である。

$f(x)$ が下に凸な関数のとき，任意の $x,y,z$ に対して(※)，

$$\begin{aligned} &f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ &\quad\quad\geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\} \end{aligned}$$

任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して， $$|x|+|y|+|z|+|x+y+z| \geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$$ が成立する。

$0$ 以上 $\dfrac{1}{2}$ 以下である $n$ 個の実数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ に対して，$\dfrac{G}{G'}\leq\dfrac{A}{A'}$

ただし，$A$ と $G$ は $x_i$ たちの相加平均と相乗平均：

• $A=\dfrac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$
• $G=\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}$

$A'$ と $G'$ は $(1-x_i)$ たちの相加平均と相乗平均：

• $A'=\dfrac{(1-x_1)+(1-x_2)+\dots +(1-x_n)}{n}$
• $G'=\sqrt[n]{(1-x_1)(1-x_2)\dots (1-x_n)}$

$n\times n$ の複素行列 $A$ に対して，

$$|\det A|\leq c_1c_2\cdots c_n$$

ただし，$c_i$ は $i$ 列目の長さ：$c_{i} = \sqrt{|a_{1i}|^2+|a_{2i}|^2+\cdots +|a_{ni}|^2}$