蒙特卡罗一体化和助手.

背景

蒙特卡罗一体化是指以样本均值估计期望的做法.

例如，给定 Z in R^k 具有密度的随机变量 p，函数的期望 f 可以近似为：

<div> $E_p[f(Z)] = \int f(z) p(z) dz$ </div>
<div> $          ~ S_n
          := n^{-1} \sum_{i=1}^n f(z_i),  z_i\ iid\ samples\ from\ p.$</div>

如果是\\(E_p[|f(Z)|] < infinity\\)，那么\\(S_n\\) --> \\(E_p[f(Z)]\\) 由大数的强定律决定；如果\\(E_p[f(Z)^2] < infinity\\)，则\\(S_n\\)随着方差渐近正常\\(Var[f(Z)] / n\\)。

贝叶斯统计学的从业者经常发现，分布 p 只知道一个常数时，他们想要估计\\(E_p[f(Z)]\\)。例如，联合分布p(z, x)可能是已知的，但证据\\(p(x) = \int p(z, x) dz\\)可能是难以处理的。在这种情况下，可以选择参数化分布族\\(q_\lambda(z)\\)，并且最优\\(\lambda\\)是一个\\(q_\lambda(z)\\)和\\(p(z | x)\\)之间的最小化 KL 散度。我们只知道 p(z, x)，但这足以找到\\(\lambda\\)。

日志空间评估和减去最大值

当随机变量存在于高维空间中时，必须注意。例如，朴素的重要性样本估计\\(E_q[f(Z) p(Z) / q(Z)]\\)涉及到两个术语的比例\\(p(Z) / q(Z)\\)，为了具有有限积分, 每个尾必须比\\(O(|z|^{-(k + 1)})\\)下降的速度更快。该比率通常为零或无穷大，直到数值精度。

为此，我们有：

<div> $Log E_q[ f(Z) p(Z) / q(Z) ]$ </div>
<div> $   = Log E_q[ \exp\{Log[f(Z)] + Log[p(Z)] - Log[q(Z)] - C\} ] + C,$  where </div>
<div> $C := Max[ Log[f(Z)] + Log[p(Z)] - Log[q(Z)] ].$ </div>

指数项的最大值将为0.0，并且可以以稳定的方式评估期望值。

Ops

• tf.contrib.bayesflow.monte_carlo.expectation
• tf.contrib.bayesflow.monte_carlo.expectation_importance_sampler
• tf.contrib.bayesflow.monte_carlo.expectation_importance_sampler_logspace