题目描述
一个数组的 最小乘积 定义为这个数组中 最小值 乘以 数组的 和 。
- 比方说，数组
[3,2,5] （最小值是 2）的最小乘积为 2 * (3+2+5) = 2 * 10 = 20 。
给你一个正整数数组 nums ，请你返回 nums 任意 非空子数组 的最小乘积 的 最大值 。由于答案可能很大，请你返回答案对 109 + 7 取余 的结果。
请注意，最小乘积的最大值考虑的是取余操作 之前 的结果。题目保证最小乘积的最大值在 不取余 的情况下可以用 64 位有符号整数 保存。
子数组 定义为一个数组的 连续 部分。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,2]
输出：14
解释：最小乘积的最大值由子数组 [2,3,2] （最小值是 2）得到。
2 * (2+3+2) = 2 * 7 = 14 。
示例 2：
输入：nums = [2,3,3,1,2]
输出：18
解释：最小乘积的最大值由子数组 [3,3] （最小值是 3）得到。
3 * (3+3) = 3 * 6 = 18 。
示例 3：
输入：nums = [3,1,5,6,4,2]
输出：60
解释：最小乘积的最大值由子数组 [5,6,4] （最小值是 4）得到。
4 * (5+6+4) = 4 * 15 = 60 。
提示：
1 <= nums.length <= 1051 <= nums[i] <= 107
解法
方法一：单调栈 + 前缀和
我们可以枚举每个元素 \(nums[i]\) 作为子数组的最小值，找出子数组的左右边界 \(left[i]\) 和 \(right[i]\)。其中 \(left[i]\) 表示 \(i\) 左侧第一个严格小于 \(nums[i]\) 的位置，而 \(right[i]\) 表示 \(i\) 右侧第一个小于等于 \(nums[i]\) 的位置。
为了方便地算出子数组的和，我们可以预处理出前缀和数组 \(s\)，其中 \(s[i]\) 表示 \(nums\) 前 \(i\) 个元素的和。
那么以 \(nums[i]\) 作为子数组最小值的最小乘积为 \(nums[i] \times s[right[i]] - s[left[i] + 1]\)。我们可以枚举每个元素 \(nums[i]\)，求出以 \(nums[i]\) 作为子数组最小值的最小乘积，然后取最大值即可。
时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为数组 \(nums\) 的长度。
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22 | class Solution:
def maxSumMinProduct(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
left = [-1] * n
right = [n] * n
stk = []
for i, x in enumerate(nums):
while stk and nums[stk[-1]] >= x:
stk.pop()
if stk:
left[i] = stk[-1]
stk.append(i)
stk = []
for i in range(n - 1, -1, -1):
while stk and nums[stk[-1]] > nums[i]:
stk.pop()
if stk:
right[i] = stk[-1]
stk.append(i)
s = list(accumulate(nums, initial=0))
mod = 10**9 + 7
return max((s[right[i]] - s[left[i] + 1]) * x for i, x in enumerate(nums)) % mod
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39 | class Solution {
public int maxSumMinProduct(int[] nums) {
int n = nums.length;
int[] left = new int[n];
int[] right = new int[n];
Arrays.fill(left, -1);
Arrays.fill(right, n);
Deque<Integer> stk = new ArrayDeque<>();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (!stk.isEmpty() && nums[stk.peek()] >= nums[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.isEmpty()) {
left[i] = stk.peek();
}
stk.push(i);
}
stk.clear();
for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
while (!stk.isEmpty() && nums[stk.peek()] > nums[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.isEmpty()) {
right[i] = stk.peek();
}
stk.push(i);
}
long[] s = new long[n + 1];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
s[i + 1] = s[i] + nums[i];
}
long ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ans = Math.max(ans, nums[i] * (s[right[i]] - s[left[i] + 1]));
}
final int mod = (int) 1e9 + 7;
return (int) (ans % mod);
}
}
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39 | class Solution {
public:
int maxSumMinProduct(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<int> left(n, -1);
vector<int> right(n, n);
stack<int> stk;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (!stk.empty() && nums[stk.top()] >= nums[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.empty()) {
left[i] = stk.top();
}
stk.push(i);
}
stk = stack<int>();
for (int i = n - 1; ~i; --i) {
while (!stk.empty() && nums[stk.top()] > nums[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.empty()) {
right[i] = stk.top();
}
stk.push(i);
}
long long s[n + 1];
s[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
s[i + 1] = s[i] + nums[i];
}
long long ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ans = max(ans, nums[i] * (s[right[i]] - s[left[i] + 1]));
}
const int mod = 1e9 + 7;
return ans % mod;
}
};
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41 | func maxSumMinProduct(nums []int) int {
n := len(nums)
left := make([]int, n)
right := make([]int, n)
for i := range left {
left[i] = -1
right[i] = n
}
stk := []int{}
for i, x := range nums {
for len(stk) > 0 && nums[stk[len(stk)-1]] >= x {
stk = stk[:len(stk)-1]
}
if len(stk) > 0 {
left[i] = stk[len(stk)-1]
}
stk = append(stk, i)
}
stk = []int{}
for i := n - 1; i >= 0; i-- {
for len(stk) > 0 && nums[stk[len(stk)-1]] > nums[i] {
stk = stk[:len(stk)-1]
}
if len(stk) > 0 {
right[i] = stk[len(stk)-1]
}
stk = append(stk, i)
}
s := make([]int, n+1)
for i, x := range nums {
s[i+1] = s[i] + x
}
ans := 0
for i, x := range nums {
if t := x * (s[right[i]] - s[left[i]+1]); ans < t {
ans = t
}
}
const mod = 1e9 + 7
return ans % mod
}
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38 | function maxSumMinProduct(nums: number[]): number {
const n = nums.length;
const left: number[] = Array(n).fill(-1);
const right: number[] = Array(n).fill(n);
const stk: number[] = [];
for (let i = 0; i < n; ++i) {
while (stk.length && nums[stk.at(-1)!] >= nums[i]) {
stk.pop();
}
if (stk.length) {
left[i] = stk.at(-1)!;
}
stk.push(i);
}
stk.length = 0;
for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
while (stk.length && nums[stk.at(-1)!] > nums[i]) {
stk.pop();
}
if (stk.length) {
right[i] = stk.at(-1)!;
}
stk.push(i);
}
const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
for (let i = 0; i < n; ++i) {
s[i + 1] = s[i] + nums[i];
}
let ans: bigint = 0n;
const mod = 10 ** 9 + 7;
for (let i = 0; i < n; ++i) {
const t = BigInt(nums[i]) * BigInt(s[right[i]] - s[left[i] + 1]);
if (ans < t) {
ans = t;
}
}
return Number(ans % BigInt(mod));
}
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