题目描述
在二维平面上的 x 轴上，放置着一些方块。
给你一个二维整数数组 positions ，其中 positions[i] = [lefti, sideLengthi] 表示：第 i 个方块边长为 sideLengthi ，其左侧边与 x 轴上坐标点 lefti 对齐。
每个方块都从一个比目前所有的落地方块更高的高度掉落而下。方块沿 y 轴负方向下落，直到着陆到 另一个正方形的顶边 或者是 x 轴上 。一个方块仅仅是擦过另一个方块的左侧边或右侧边不算着陆。一旦着陆，它就会固定在原地，无法移动。
在每个方块掉落后，你必须记录目前所有已经落稳的 方块堆叠的最高高度 。
返回一个整数数组 ans ，其中 ans[i] 表示在第 i 块方块掉落后堆叠的最高高度。
示例 1：
输入：positions = [[1,2],[2,3],[6,1]]
输出：[2,5,5]
解释：
第 1 个方块掉落后，最高的堆叠由方块 1 组成，堆叠的最高高度为 2 。
第 2 个方块掉落后，最高的堆叠由方块 1 和 2 组成，堆叠的最高高度为 5 。
第 3 个方块掉落后，最高的堆叠仍然由方块 1 和 2 组成，堆叠的最高高度为 5 。
因此，返回 [2, 5, 5] 作为答案。
示例 2：
输入：positions = [[100,100],[200,100]]
输出：[100,100]
解释：
第 1 个方块掉落后，最高的堆叠由方块 1 组成，堆叠的最高高度为 100 。
第 2 个方块掉落后，最高的堆叠可以由方块 1 组成也可以由方块 2 组成，堆叠的最高高度为 100 。
因此，返回 [100, 100] 作为答案。
注意，方块 2 擦过方块 1 的右侧边，但不会算作在方块 1 上着陆。
提示：
1 <= positions.length <= 10001 <= lefti <= 1081 <= sideLengthi <= 106
解法
方法一：线段树
根据题目描述，我们需要维护一个区间集合，支持区间的修改和查询操作。这种情况下，我们可以使用线段树来解决。
线段树将整个区间分割为多个不连续的子区间，子区间的数量不超过 \(\log(width)\)，其中 \(width\) 是区间的长度。更新某个元素的值，只需要更新 \(\log(width)\) 个区间，并且这些区间都包含在一个包含该元素的大区间内。区间修改时，需要使用懒标记保证效率。
- 线段树的每个节点代表一个区间；
- 线段树具有唯一的根节点，代表的区间是整个统计范围，如 \([1, n]\)；
- 线段树的每个叶子节点代表一个长度为 1 的元区间 \([x, x]\)；
- 对于每个内部节点 \([l, r]\)，它的左儿子是 \([l, mid]\)，右儿子是 \([mid + 1, r]\), 其中 \(\textit{mid} = \frac{l + r}{2}\)；
对于本题，线段树节点维护的信息有：
- 区间中方块的最大高度 \(v\)
- 懒标记 \(add\)
另外，由于数轴范围很大，达到 \(10^8\)，因此我们采用动态开点。
时间复杂度方面，每次查询和修改的时间复杂度为 \(O(\log n)\)，总时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。空间复杂度为 \(O(n)\)。
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74 | class Node:
def __init__(self, l, r):
self.left = None
self.right = None
self.l = l
self.r = r
self.mid = (l + r) >> 1
self.v = 0
self.add = 0
class SegmentTree:
def __init__(self):
self.root = Node(1, int(1e9))
def modify(self, l, r, v, node=None):
if l > r:
return
if node is None:
node = self.root
if node.l >= l and node.r <= r:
node.v = v
node.add = v
return
self.pushdown(node)
if l <= node.mid:
self.modify(l, r, v, node.left)
if r > node.mid:
self.modify(l, r, v, node.right)
self.pushup(node)
def query(self, l, r, node=None):
if l > r:
return 0
if node is None:
node = self.root
if node.l >= l and node.r <= r:
return node.v
self.pushdown(node)
v = 0
if l <= node.mid:
v = max(v, self.query(l, r, node.left))
if r > node.mid:
v = max(v, self.query(l, r, node.right))
return v
def pushup(self, node):
node.v = max(node.left.v, node.right.v)
def pushdown(self, node):
if node.left is None:
node.left = Node(node.l, node.mid)
if node.right is None:
node.right = Node(node.mid + 1, node.r)
if node.add:
node.left.v = node.add
node.right.v = node.add
node.left.add = node.add
node.right.add = node.add
node.add = 0
class Solution:
def fallingSquares(self, positions: List[List[int]]) -> List[int]:
ans = []
mx = 0
tree = SegmentTree()
for l, w in positions:
r = l + w - 1
h = tree.query(l, r) + w
mx = max(mx, h)
ans.append(mx)
tree.modify(l, r, h)
return ans
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103 | class Node {
Node left;
Node right;
int l;
int r;
int mid;
int v;
int add;
public Node(int l, int r) {
this.l = l;
this.r = r;
this.mid = (l + r) >> 1;
}
}
class SegmentTree {
private Node root = new Node(1, (int) 1e9);
public SegmentTree() {
}
public void modify(int l, int r, int v) {
modify(l, r, v, root);
}
public void modify(int l, int r, int v, Node node) {
if (l > r) {
return;
}
if (node.l >= l && node.r <= r) {
node.v = v;
node.add = v;
return;
}
pushdown(node);
if (l <= node.mid) {
modify(l, r, v, node.left);
}
if (r > node.mid) {
modify(l, r, v, node.right);
}
pushup(node);
}
public int query(int l, int r) {
return query(l, r, root);
}
public int query(int l, int r, Node node) {
if (l > r) {
return 0;
}
if (node.l >= l && node.r <= r) {
return node.v;
}
pushdown(node);
int v = 0;
if (l <= node.mid) {
v = Math.max(v, query(l, r, node.left));
}
if (r > node.mid) {
v = Math.max(v, query(l, r, node.right));
}
return v;
}
public void pushup(Node node) {
node.v = Math.max(node.left.v, node.right.v);
}
public void pushdown(Node node) {
if (node.left == null) {
node.left = new Node(node.l, node.mid);
}
if (node.right == null) {
node.right = new Node(node.mid + 1, node.r);
}
if (node.add != 0) {
Node left = node.left, right = node.right;
left.add = node.add;
right.add = node.add;
left.v = node.add;
right.v = node.add;
node.add = 0;
}
}
}
class Solution {
public List<Integer> fallingSquares(int[][] positions) {
List<Integer> ans = new ArrayList<>();
SegmentTree tree = new SegmentTree();
int mx = 0;
for (int[] p : positions) {
int l = p[0], w = p[1], r = l + w - 1;
int h = tree.query(l, r) + w;
mx = Math.max(mx, h);
ans.add(mx);
tree.modify(l, r, h);
}
return ans;
}
}
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94 | class Node {
public:
Node* left;
Node* right;
int l;
int r;
int mid;
int v;
int add;
Node(int l, int r) {
this->l = l;
this->r = r;
this->mid = (l + r) >> 1;
this->left = this->right = nullptr;
v = add = 0;
}
};
class SegmentTree {
private:
Node* root;
public:
SegmentTree() {
root = new Node(1, 1e9);
}
void modify(int l, int r, int v) {
modify(l, r, v, root);
}
void modify(int l, int r, int v, Node* node) {
if (l > r) return;
if (node->l >= l && node->r <= r) {
node->v = v;
node->add = v;
return;
}
pushdown(node);
if (l <= node->mid) modify(l, r, v, node->left);
if (r > node->mid) modify(l, r, v, node->right);
pushup(node);
}
int query(int l, int r) {
return query(l, r, root);
}
int query(int l, int r, Node* node) {
if (l > r) return 0;
if (node->l >= l && node->r <= r) return node->v;
pushdown(node);
int v = 0;
if (l <= node->mid) v = max(v, query(l, r, node->left));
if (r > node->mid) v = max(v, query(l, r, node->right));
return v;
}
void pushup(Node* node) {
node->v = max(node->left->v, node->right->v);
}
void pushdown(Node* node) {
if (!node->left) node->left = new Node(node->l, node->mid);
if (!node->right) node->right = new Node(node->mid + 1, node->r);
if (node->add) {
Node* left = node->left;
Node* right = node->right;
left->v = node->add;
right->v = node->add;
left->add = node->add;
right->add = node->add;
node->add = 0;
}
}
};
class Solution {
public:
vector<int> fallingSquares(vector<vector<int>>& positions) {
vector<int> ans;
SegmentTree* tree = new SegmentTree();
int mx = 0;
for (auto& p : positions) {
int l = p[0], w = p[1], r = l + w - 1;
int h = tree->query(l, r) + w;
mx = max(mx, h);
ans.push_back(mx);
tree->modify(l, r, h);
}
return ans;
}
};
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95 | type node struct {
left *node
right *node
l, mid, r int
v, add int
}
func newNode(l, r int) *node {
return &node{
l: l,
r: r,
mid: (l + r) >> 1,
}
}
type segmentTree struct {
root *node
}
func newSegmentTree() *segmentTree {
return &segmentTree{
root: newNode(1, 1e9),
}
}
func (t *segmentTree) modify(l, r, v int, n *node) {
if l > r {
return
}
if n.l >= l && n.r <= r {
n.v = v
n.add = v
return
}
t.pushdown(n)
if l <= n.mid {
t.modify(l, r, v, n.left)
}
if r > n.mid {
t.modify(l, r, v, n.right)
}
t.pushup(n)
}
func (t *segmentTree) query(l, r int, n *node) int {
if l > r {
return 0
}
if n.l >= l && n.r <= r {
return n.v
}
t.pushdown(n)
v := 0
if l <= n.mid {
v = max(v, t.query(l, r, n.left))
}
if r > n.mid {
v = max(v, t.query(l, r, n.right))
}
return v
}
func (t *segmentTree) pushup(n *node) {
n.v = max(n.left.v, n.right.v)
}
func (t *segmentTree) pushdown(n *node) {
if n.left == nil {
n.left = newNode(n.l, n.mid)
}
if n.right == nil {
n.right = newNode(n.mid+1, n.r)
}
if n.add != 0 {
n.left.add = n.add
n.right.add = n.add
n.left.v = n.add
n.right.v = n.add
n.add = 0
}
}
func fallingSquares(positions [][]int) []int {
ans := make([]int, len(positions))
t := newSegmentTree()
mx := 0
for i, p := range positions {
l, w, r := p[0], p[1], p[0]+p[1]-1
h := t.query(l, r, t.root) + w
mx = max(mx, h)
ans[i] = mx
t.modify(l, r, h, t.root)
}
return ans
}
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100 | class Node {
left: Node | null = null;
right: Node | null = null;
l: number;
r: number;
mid: number;
v: number = 0;
add: number = 0;
constructor(l: number, r: number) {
this.l = l;
this.r = r;
this.mid = (l + r) >> 1;
}
}
class SegmentTree {
private root: Node = new Node(1, 1e9);
public modify(l: number, r: number, v: number): void {
this.modifyNode(l, r, v, this.root);
}
private modifyNode(l: number, r: number, v: number, node: Node): void {
if (l > r) {
return;
}
if (node.l >= l && node.r <= r) {
node.v = v;
node.add = v;
return;
}
this.pushdown(node);
if (l <= node.mid) {
this.modifyNode(l, r, v, node.left!);
}
if (r > node.mid) {
this.modifyNode(l, r, v, node.right!);
}
this.pushup(node);
}
public query(l: number, r: number): number {
return this.queryNode(l, r, this.root);
}
private queryNode(l: number, r: number, node: Node): number {
if (l > r) {
return 0;
}
if (node.l >= l && node.r <= r) {
return node.v;
}
this.pushdown(node);
let v = 0;
if (l <= node.mid) {
v = Math.max(v, this.queryNode(l, r, node.left!));
}
if (r > node.mid) {
v = Math.max(v, this.queryNode(l, r, node.right!));
}
return v;
}
private pushup(node: Node): void {
node.v = Math.max(node.left!.v, node.right!.v);
}
private pushdown(node: Node): void {
if (node.left == null) {
node.left = new Node(node.l, node.mid);
}
if (node.right == null) {
node.right = new Node(node.mid + 1, node.r);
}
if (node.add != 0) {
let left = node.left,
right = node.right;
left!.add = node.add;
right!.add = node.add;
left!.v = node.add;
right!.v = node.add;
node.add = 0;
}
}
}
function fallingSquares(positions: number[][]): number[] {
const ans: number[] = [];
const tree = new SegmentTree();
let mx = 0;
for (const [l, w] of positions) {
const r = l + w - 1;
const h = tree.query(l, r) + w;
mx = Math.max(mx, h);
ans.push(mx);
tree.modify(l, r, h);
}
return ans;
}
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