265. 粉刷房子 II 🔒

题目描述

假如有一排房子共有 n 幢，每个房子可以被粉刷成 k 种颜色中的一种。房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。

每个房子粉刷成不同颜色的花费以一个 n x k 的矩阵表示。

• 例如，costs[0][0] 表示第 0 幢房子粉刷成 0 号颜色的成本；costs[1][2] 表示第 1 幢房子粉刷成 2 号颜色的成本，以此类推。

返回 粉刷完所有房子的最低成本 。

 

示例 1：

输入: costs = [[1,5,3],[2,9,4]]
输出: 5
解释: 
将房子 0 刷成 0 号颜色，房子 1 刷成 2 号颜色。花费: 1 + 4 = 5; 
或者将 房子 0 刷成 2 号颜色，房子 1 刷成 0 号颜色。花费: 3 + 2 = 5. 

示例 2:

输入: costs = [[1,3],[2,4]]
输出: 5

 

提示：

• costs.length == n
• costs[i].length == k
• 1 <= n <= 100
• 2 <= k <= 20
• 1 <= costs[i][j] <= 20

 

进阶：您能否在 O(nk) 的时间复杂度下解决此问题？

解法

方法一：动态规划

定义 \(f[i][j]\) 表示粉刷前 \(i\) 个房子，且最后一个房子被粉刷成第 \(j\) 种颜色的最小花费。答案为 \(\min_{0 \leq j < k} f[n][j]\)。

对于 \(f[i][j]\)，可以从 \(f[i - 1][j']\) 转移而来，其中 \(j' \neq j\)。因此，可以得到状态转移方程：

\[ f[i][j] = \min_{0 \leq j' < k, j' \neq j} f[i - 1][j'] + costs[i - 1][j] \]

由于 \(f[i][j]\) 只与 \(f[i - 1][j']\) 有关，因此可以使用滚动数组优化空间复杂度。

时间复杂度 \(O(n \times k^2)\)，空间复杂度 \(O(k)\)。其中 \(n\) 和 \(k\) 分别为房子数量和颜色数量。

Python3JavaC++Go

class Solution:
    def minCostII(self, costs: List[List[int]]) -> int:
        n, k = len(costs), len(costs[0])
        f = costs[0][:]
        for i in range(1, n):
            g = costs[i][:]
            for j in range(k):
                t = min(f[h] for h in range(k) if h != j)
                g[j] += t
            f = g
        return min(f)

class Solution {
    public int minCostII(int[][] costs) {
        int n = costs.length, k = costs[0].length;
        int[] f = costs[0].clone();
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int[] g = costs[i].clone();
            for (int j = 0; j < k; ++j) {
                int t = Integer.MAX_VALUE;
                for (int h = 0; h < k; ++h) {
                    if (h != j) {
                        t = Math.min(t, f[h]);
                    }
                }
                g[j] += t;
            }
            f = g;
        }
        return Arrays.stream(f).min().getAsInt();
    }
}

class Solution {
public:
    int minCostII(vector<vector<int>>& costs) {
        int n = costs.size(), k = costs[0].size();
        vector<int> f = costs[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            vector<int> g = costs[i];
            for (int j = 0; j < k; ++j) {
                int t = INT_MAX;
                for (int h = 0; h < k; ++h) {
                    if (h != j) {
                        t = min(t, f[h]);
                    }
                }
                g[j] += t;
            }
            f = move(g);
        }
        return *min_element(f.begin(), f.end());
    }
};

func minCostII(costs [][]int) int {
    n, k := len(costs), len(costs[0])
    f := cp(costs[0])
    for i := 1; i < n; i++ {
        g := cp(costs[i])
        for j := 0; j < k; j++ {
            t := math.MaxInt32
            for h := 0; h < k; h++ {
                if h != j && t > f[h] {
                    t = f[h]
                }
            }
            g[j] += t
        }
        f = g
    }
    return slices.Min(f)
}

func cp(arr []int) []int {
    t := make([]int, len(arr))
    copy(t, arr)
    return t
}

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