题目描述
有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
示例 2：
输入：nums = [1,5]
输出：10
提示：
n == nums.length1 <= n <= 3000 <= nums[i] <= 100
解法
方法一：动态规划
我们记数组 \(nums\) 的长度为 \(n\)。根据题目描述，我们可以在数组 \(nums\) 的左右两端各添加一个 \(1\)，记为 \(arr\)。
然后，我们定义 \(f[i][j]\) 表示戳破区间 \([i, j]\) 内的所有气球能得到的最多硬币数，那么答案即为 \(f[0][n+1]\)。
对于 \(f[i][j]\)，我们枚举区间 \([i, j]\) 内的所有位置 \(k\)，假设 \(k\) 是最后一个戳破的气球，那么我们可以得到如下状态转移方程：
\[
f[i][j] = \max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + arr[i] \times arr[k] \times arr[j])
\]
在实现上，由于 \(f[i][j]\) 的状态转移方程中涉及到 \(f[i][k]\) 和 \(f[k][j]\)，其中 \(i < k < j\)，因此我们需要从大到小地遍历 \(i\)，从小到大地遍历 \(j\)，这样才能保证当计算 \(f[i][j]\) 时 \(f[i][k]\) 和 \(f[k][j]\) 已经被计算出来。
最后，我们返回 \(f[0][n+1]\) 即可。
时间复杂度 \(O(n^3)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)。其中 \(n\) 为数组 \(nums\) 的长度。
| class Solution:
def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
arr = [1] + nums + [1]
f = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
for i in range(n - 1, -1, -1):
for j in range(i + 2, n + 2):
for k in range(i + 1, j):
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + arr[i] * arr[k] * arr[j])
return f[0][-1]
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18 | class Solution {
public int maxCoins(int[] nums) {
int n = nums.length;
int[] arr = new int[n + 2];
arr[0] = 1;
arr[n + 1] = 1;
System.arraycopy(nums, 0, arr, 1, n);
int[][] f = new int[n + 2][n + 2];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 2; j <= n + 1; j++) {
for (int k = i + 1; k < j; k++) {
f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + arr[i] * arr[k] * arr[j]);
}
}
}
return f[0][n + 1];
}
}
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20 | class Solution {
public:
int maxCoins(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<int> arr(n + 2, 1);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
arr[i + 1] = nums[i];
}
vector<vector<int>> f(n + 2, vector<int>(n + 2, 0));
for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
for (int j = i + 2; j <= n + 1; ++j) {
for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + arr[i] * arr[k] * arr[j]);
}
}
}
return f[0][n + 1];
}
};
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22 | func maxCoins(nums []int) int {
n := len(nums)
arr := make([]int, n+2)
arr[0] = 1
arr[n+1] = 1
copy(arr[1:], nums)
f := make([][]int, n+2)
for i := range f {
f[i] = make([]int, n+2)
}
for i := n - 1; i >= 0; i-- {
for j := i + 2; j <= n+1; j++ {
for k := i + 1; k < j; k++ {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + arr[i]*arr[k]*arr[j])
}
}
}
return f[0][n+1]
}
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17 | function maxCoins(nums: number[]): number {
const n = nums.length;
const arr = Array(n + 2).fill(1);
for (let i = 0; i < n; i++) {
arr[i + 1] = nums[i];
}
const f: number[][] = Array.from({ length: n + 2 }, () => Array(n + 2).fill(0));
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (let j = i + 2; j <= n + 1; j++) {
for (let k = i + 1; k < j; k++) {
f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + arr[i] * arr[k] * arr[j]);
}
}
}
return f[0][n + 1];
}
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19 | impl Solution {
pub fn max_coins(nums: Vec<i32>) -> i32 {
let n = nums.len();
let mut arr = vec![1; n + 2];
for i in 0..n {
arr[i + 1] = nums[i];
}
let mut f = vec![vec![0; n + 2]; n + 2];
for i in (0..n).rev() {
for j in i + 2..n + 2 {
for k in i + 1..j {
f[i][j] = f[i][j].max(f[i][k] + f[k][j] + arr[i] * arr[k] * arr[j]);
}
}
}
f[0][n + 1]
}
}
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